人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案设计
展开5.5三角恒等变换
5.5.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式
1.两角差的余弦公式
2.两角和差的正弦、余弦、正切公式
知识点1：两角差的余弦公式
对于任意角，有.
此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角等于两角的同名三角函数值乘积的和.
例1-1： .
答案：
例1-2：已知，则的值为 .
答案：
知识点2：两角和的余弦公式
1.公式的推导
在公式中，将用来替换，并且注意到，，于是.
2.公式的结构特征
3.两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反.”
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“－”，两角差时用“＋”.
例2-3：= .
答案：
例2-4：（ ）
A. B. C. D.
答案：C
知识点3：两角和与差的正弦公式
1.公式的推导
运用差角的余弦公式和诱导公式，考虑到，且.
于是
=
=
即，将其记为，称为和角的正弦公式.
2.公式的推导
运用差角的余弦公式和诱导公式，可得
=
=
即，将其记为，称为差角的正弦公式.
3.两角和与差的正弦公式的结构特征
4.两角和与差的正弦公式的记忆技巧.
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
（1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
（2）“符号相同”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”.
例3-5：求下列各式的值.
（1） （2）； （3）
答案：（1） （2） （3）
例3-6：（1） .
（2） .
答案：（1） （2）1
知识点4：两角和与差的正切公式
1.公式的推导
当时，将公式的两边分别相除，有：
，若，将上式的分子、分母都除以，得，将其记为，称为和角的正切公式.
2.公式的推导
由于，在中以代替，可得：
，即，将其记为，称为差角的正切公式.
3.和角公式和差角公式
公式给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地，都叫做差角公式.
例4-7：求的值.
答案：
例4-8：化简下列各式
（1） （2）
答案：（1） （2）1
例4-9：已知，，则（ ）
A. B. 7 C. D.-7
答案：A
例4-10：设是方程两个根，则的值为（ ）
A.-3 B. -1 C. 1 D. 3
答案：A
重难拓展
知识点5：三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式（收缩代换）
1.角的代换
代换法是一种常用的思想，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.例如，在推导后，可以将代换成，即可推导出.
常用角的代换形式：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
2.常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如，，，
1=等.再如，，，等常数均可以视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数代换为三角函数值使用.例如=
.
3.辅助角公式（收缩代换）
通过应用公式，将形如（都不为零）的三角函数式收缩为一个三角函数.这种恒等变形实质上是同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩成一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
例5-11：已知是锐角，且，，则的值为 .
答案：
例5-12：的值为（ ）
- 0 B. C. 2 D.
答案：B
例5-13：化简下列各式：
（1）； （2）.
答案：（1）原式=；（2）原式=.
题型与方法
题型1：公式应用
1.顺用
例14：已知是是第一象限角，，是第四象限角，，则的值为 .
答案：1
2.逆用
例15：的值是（ ）
- 0 B. C. D.
答案：C
例3：变形用
例16：化简：（1）
（2）
答案：（1） 1 （2）
变式训练1
（1）的值为 .
（2） .
（3）= .
答案：（1） （2） 1 （3）
题型2：利用和（差）公式求三角函数的值
1.给角求值
例17：求下列各式的值；
（1）
（2）
（3）
（4）
答案：（1） （2）1 （3）-2 （4）4
变式训练2：化简下列各式
（1）
（2）
答案：（1） （2）
2.给值求值（条件求值）
例18：（1）已知，求的值.
（2）在△ABC中，，，求的值.
（3）已知，求的值.
（4）已知，求的值.
（5）已知，，求的值.
答案：（1） （2） （3）
（4） （5）
变式训练3：已知函数（其中）的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）设，，求的值.
答案：（1） （2）
3.给值求角
例19：（1）已知，且和均为钝角，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.
答案：D
（2）已知，且，则的值为 .
答案：
变式训练4：已知均为锐角，且，则= .
答案：
题型3：利用和（差）角公式化简三角函数式
例20：化简：.
答案：原式=0
变式训练5：已知函数，.
（1）化简；
（2）求函数的值域.
答案：（1）
（2）值域为
题型4：利用和（差）角公式证明三角恒等式
1.三角恒等式的证明
例21：已知△ABC不是直角三角形，求证：.
答案：，即
所以
故
2.条件恒等式的证明
例22：已知，求证：
答案：∵，
∴
∴
即
∴
∴
∴，∴，∴
∴
易错提醒
易错1：忽略角的范围致错
例23：已知在△ABC中，，，则 .
答案：
易错2：函数名称选择不当致错
例24：已知，且，满足，则 .
答案：
高考链接
考向1：利用公式求值
例25：°=（ ）
A. B. C. D.
答案：D
考向2：公式的综合运用
例26：（1）已知，，则 .
（2）已知，则 .
答案：（1）；（2）.
变式训练6：（1）若，则（ ）
A. B. C. D.
（2）若，则= .
答案：（1）A （2）
例27：已知的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
答案：（1） （2）或.
例28：若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
变式训练7：函数的最大值为 .
答案：
基础巩固
1.（ ）
A. B. C. D.
2.若，是第三象限角，则（ ）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，若，则这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
4.函数的最小值为（ ）
A. B. -2 C. - D.
5.= .
6.在△ABC中，A=120°，则的最大值为 .
7.已知，，，则的值为 .
8.（1）已知，求的值.
（2）已知，，求的值.
能力提升
9.已知，则=（ ）
A. B. C. D.
10.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.若，则=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13.在△ABC中，，则C的大小为（ ）
A. B. C. D.
14.已知函数额图象与直线的两个相邻的距离等于，则图象的一条对称轴方程是（ ）
A. B. C. D.
15.函数的最大值是 .
16.已知均为锐角，且，则= .
17.的值是 .
18.已知在锐角三角形ABC中，
（1）求证：
（2）求的值.
19.在△ABC中，且，判断△ABC的形状.
参考答案
- A
- A
- D
- C
- 1
- （1）.（2）
- D
- D
- B
- C
- A
- D
- 1
- 1
（△ABC锐角三角形）.又，
解得或（舍去）
∴.
19.
而，∴.
，
而，∴C=30°，
∴B=
故△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
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