2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题五第2讲　圆锥曲线的标准方程与几何性质

第2讲　圆锥曲线的标准方程与几何性质

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1．必记的概念与定理

(1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线． 这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的曲线，因而才称之为圆锥曲线．

(2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线．

(3)圆锥曲线第二定义把“曲线上的点M”“焦点F”“相应准线l”和“离心率e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义．

2．记住几个常用的公式与结论

(1)椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线．

(2)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．

(3)设直线l(斜率存在)与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长AB＝|x1－x2|或　·|y1－y2|．

(4)通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短．

(5)椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c．　

3．需要关注的易错易混点

(1)已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．

(2)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．

(3)已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝(m＞0)或m＝，故离心率有两种可能．

椭圆的标准方程与几何性质

[典型例题]

(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

(2)(2018·江苏名校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝________．

【解析】　(1)由题意得B，C，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝．

(2)法一：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立，，得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a交x轴于A(－，0)，又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°．

法二：由椭圆性质可知，过B且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为y＝ex＋a(e为椭圆的离心率)，即切线斜率为e，所以tan∠BAF＝＝e，又tan∠OBF＝＝e，则∠BAF＝∠OBF，因而∠ABF＝90°．

【答案】　(1)　(2)90°

(1)解决椭圆方程和几何性质问题，要牢牢抓住相关定义，一些看起来很复杂，没有头绪的问题，如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解．

(2)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．

(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．

[对点训练]

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆C的方程为________．

[解析] 因为x2＋y2－2x－15＝0，所以(x－1)2＋y2＝16，所以r＝4，即2a＝4，a＝2．

又＝，所以c＝，所以b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1．

[答案]  ＋y2＝1

2．(2018·江苏省名校高三入学摸底卷)设A，B，C是椭圆＋＝1(a>b>0)上的三个不同的点，若四边形OABC(其中O为坐标原点)为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为________．

[解析] 设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，因为四边形OABC为矩形，所以点B(x1＋x2，y1＋y2)，则问题转化为方程组

存在实数解的问题．

展开第三个方程，整理得x1x2＝．易知直线OA和OC的斜率均存在，分别设为k，－，由得x＝，同理x＝，因此·＝，即关于k2的二次方程(k2)2－·k2＋1＝0有正解，即－4≥0，且3－8>0，又a>b，所以a2≥3b2，所以≤e<1，故椭圆的离心率的最小值为，此时矩形OABC为正方形．

[答案]

双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．

(2)(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，定点A(2，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN＝________．

【解析】　(1)因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±x．

(2)设直线FA的倾斜角为α，因为焦点F(0，1)，定点A(2，0)，

所以tan α＝＝－，sin α＝，

如图，作MB⊥l，垂足为点B，由抛物线的定义可得：FM＝MB，

所以＝sin(π－α)＝sin α＝．

【答案】　(1)y＝±x　(2)

灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便．特别是抛物线的定义在解题中的作用巨大．

[对点训练]

3．(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．

[解析] 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2．

[答案] 2

4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若＝，则p＝________．

[解析] 过B作BE垂直准线l于E(图略)，

因为＝，

所以M为中点，

所以MB＝AB，

又斜率为，∠BAE＝30°，

所以BE＝AB，所以BM＝BE，

所以M为抛物线的焦点，所以p＝2．

[答案] 2

1．(2019·南京模拟)椭圆＋＝1的离心率是________．

[解析] 由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝．

[答案]

2．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．

[解析] 因为方程＋＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，，解得－1<m<0；

当焦点在y轴上时，，解得m<－1．

所以实数m的取值范围是m<－1或－1<m<0．

[答案] (－∞，－1)∪(－1，0)

3．(2019·南京、盐城模拟)若双曲线x2－y2＝a2(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝________．

[解析] 双曲线x2－y2＝a2的右焦点的坐标为，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，从而a＝1，故a＝．

[答案]

4．(2019·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，以直线y＝±2x为渐近线，且经过抛物线y2＝4x焦点的双曲线的方程是________．

[解析] 因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．又双曲线的渐近线为y＝±2x，故＝2．即所求双曲线的标准方程为x2－＝1．

[答案] x2－＝1

5．(2019·镇江期末)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是________．

[解析] 不妨设焦点为(c，0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，故(2c)＝＝＝b，即c＝2b，从而a＝＝＝b，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．

[答案] y＝±x

6．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，若C是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC＝OF，AB∥OC，则该椭圆的离心率为________．

[解析] 设点C(x0，y0)，则，解得，代入椭圆方程得＋＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2，

所以e2＝，

又0＜e＜1，故e＝．

[答案]

7．(2019·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为______．

[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x，右准线方程为x＝，联立可求得两交点的纵坐标为±，所以△AOB的面积S＝××＝，得＝4，e＝＝2．

[答案] 2

8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．

[解析] 设P(m，n)，则－＝1，

即m2＝a2．

又F1(－1，0)，F2(1，0)，

则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，

·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1

＝n2＋a2－1≥a2－1，

当且仅当n＝0时取等号，

所以·的最小值为a2－1．

由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，

即·的最小值的取值范围是．

[答案]

9．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3，O为坐标原点，则△AOF的面积和△BOF的面积的比值为________．

[解析] 易知F(1，0)，不妨设A在第一象限，B在第四象限．因为|AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入抛物线方程可得y＝4×2，得yA＝2，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝2x－2．

联立，消去x得，y2－y－4＝0，

所以2yB＝－4，解得yB＝－，所以△AOF的面积和△BOF的面积的比值为＝2．

[答案] 2

10．(2019·南京模拟)已知椭圆x2＋＝1(0<b<1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．当m＋n>0时，则椭圆离心率的取值范围是________．

[解析] 设F、B、C的坐标分别为(－c，0)，(0，b)，(1，0)，则FC、BC的中垂线分别为

x＝，y－＝．

联立方程组解出

m＋n＝＋>0，即b－bc＋b2－c>0，即(1＋b)·(b－c)>0，所以b>c．从而b2>c2，

即有a2>2c2，

所以e2<．又e>0，

所以0<e<．

[答案] 0<e<

11．(2019·扬州期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．

(1)求证：PF⊥l；

(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线方程．

[解] (1)证明：右准线为x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，

则P，又F(c，0)，

所以kPF＝＝－，

又因为kl＝，所以kPF·kl＝－·＝－1，

所以PF⊥l．

(2)因为PF的长即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距离，

所以＝3，即b＝3，

又e＝＝，所以＝，所以a＝4，故双曲线方程为－＝1．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

[解] (1)设椭圆的半焦距为c．

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，

因此椭圆E的标准方程是＋＝1．

(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0)．

设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0．

当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符，

当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为．

因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－，

从而直线l1的方程：y＝－(x＋1)，①

直线l2的方程：y＝－(x－1)．②

由①②，解得x＝－x0，y＝，

所以Q．

因为点Q在椭圆E上，由对称性，得＝±y0，即x－y＝1或x＋y＝1．

又P在椭圆E上，故＋＝1．

由解得x0＝，y0＝；无解．因此点P的坐标为．

13．(2019·南通市高三第一次调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值．

[解] (1)由题意得，＝，－c＝1，

解得a＝，c＝1，又b2＝a2－c2，所以b＝1．

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．

(2)由题意知OP的斜率存在．

当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，所以＋＝1．

当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)．

由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝，

所以y2＝，

所以OP2＝．

因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－x．

由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2．

所以＋＝＋＝1．

综上可知，＋＝1．

14．(2019·江苏名校高三入学摸底)为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正西方向和正东方向设立了两个观测站A、B，它们到平台O的距离都为5海里，并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求禁航区域边界曲线的方程；

(2)某日观察员在观测站B处发现在该海上平台正南10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏东30°方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入禁航区域？如果不进入，说明理由；如果进入，求出它在禁航区域中航行的时间．

[解] (1)以O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．依题意可知，禁航区域的边界是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则，

解得a＝10，b＝5，所以禁航区域边界曲线的方程为＋＝1．

(2)由题意得C(0，－10)，所以轮船航行直线的方程为y＝x－10．

联立，整理得x2－16x＋60＝0，

则Δ＝(－16)2－4×60＝16>0，方程有两个不同的实数解x1＝10，x2＝6，所以轮船航行直线与椭圆有两个不同的交点，故轮船会驶入禁航区域．

设交点分别为M，N，不妨取M(10，0)，N(6，－4)，易得轮船在禁航区域中航行的距离为|MN|＝＝8(海里)，

所以航行时间t＝＝1(小时)，所以该轮船在禁航区域中航行的时间是1小时．