2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题五第1讲　直线与圆

第1讲　直线与圆

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1．必记的概念与定理

(1)直线方程的五种形式

①点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．

②斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．

③两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．

④截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．

⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．

(2)圆的方程的两种形式

①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

2．记住几个常用的公式与结论

(1)点到直线的距离公式

点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝．

(2)两条平行线间的距离公式

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．

(3)若直线l1和l2有斜截式方程l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1．

(4)设l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0．则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．

(5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：

①B＝0；②A＝C≠0；③D2＋E2－4AF＞0．

(6)常用到的圆的几个性质

①直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；

②圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

③圆心在任一弦的中垂线上；

④两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

⑤圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．

两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．

3．需要关注的易错易混点

(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．

(2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．

直线方程与两直线的位置关系

[典型例题]

(1)(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若·＝0，则点A的横坐标为________．

(2)(2018·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．

【解析】　(1)因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°．设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tan＝－3．又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3．

(2)法一：由两条直线平行得－＝－且≠－，化简得a＝＞0，得b＞3，故2a＋3b＝＋3b＝＋3(b－3)＋9＝13＋＋3(b－3)≥13＋2＝25，当且仅当＝3(b－3)，即b＝5或b＝1(舍去)时等号成立，故(2a＋3b)min＝25．

法二：由两条直线平行得－＝－且≠－，化简得＋＝1，故2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝且＋＝1，

即a＝b＝5时等号成立，故(2a＋3b)min＝25．

【答案】　(1)3　(2)25

(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．

(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．

[对点训练]

1．直线4ax＋y＝1与直线(1－a)x＋y＝－1互相垂直，则a＝________．

[解析] 由题可得：4a(1－a)＋1＝0，即4a2－4a－1＝0，

故a＝．

[答案]

2．(2018·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．

[解析] 由题意可得直线l1恒过定点A(0，2)，直线l2恒过定点B(2，0)，且l1⊥l2，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．圆心(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为＝2，则点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为3．

[答案] 3

圆的方程

[典型例题]

(1)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．

(2)(2018·南通市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．

【解析】　(1)直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．

当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．

(2)设BC的中点为M(x，y)，

因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，

所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，

化简得＋＝，

所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又A与的距离为，

所以AM的取值范围是，

所以BC的取值范围是[－，＋]．

【答案】　(1)(x－1)2＋y2＝2　(2)[－，＋]

在解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程(组)，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．

[对点训练]

3．圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．

[解析] 因为圆C经过原点O(0，0)和点P(4，0)，

所以线段OP的垂直平分线x＝2过圆C的圆心，

设圆C的方程为(x－2)2＋(y－b)2＝r2，

又圆C过点O(0，0)且与直线y＝1相切，所以b2＋22＝r2，且|1－b|＝r，解得b＝－，r＝，

所以圆C的方程为(x－2)2＋＝．

[答案] (x－2)2＋＝

直线与圆的位置关系

[典型例题]

(1)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．

①设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

②设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

③设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得

＋＝，求实数t的取值范围．

【解】　(1)圆心为(2，－1)，半径r＝2．

圆心到直线的距离d＝＝，

所以弦长为2＝2＝．

故填．

(2)圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5．

①由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1．

因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．

②因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2．

设直线l的方程为y＝2x＋m，

即2x－y＋m＝0，

则圆心M到直线l的距离

d＝＝．

因为BC＝OA＝＝2，

而MC2＝d2＋，所以25＝＋5，

解得m＝5或m＝－15．

故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．

③设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

因为A(2，4)，T(t，0)，＋＝，

所以(ⅰ)

因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25．(ⅱ)

将(ⅰ)代入(ⅱ)，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25．

于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，

从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，

所以5－5≤≤5＋5，

解得2－2≤t≤2＋2．

因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较．

(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．

[对点训练]

4．(2018·苏州市高三调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________．

[解析] 当直线l的斜率不存在时，直线x＝1与圆不相切．当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l：y－1＝k(x－1)，因为直线kx－y＋1－k＝0与圆相切，圆心的坐标为(－1，2)，半径为，则＝，化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2，又直线l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以－a＝－，则a＝．

[答案]

5．(2018·南通高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．

[解析] 因为圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)在第一象限，且与x轴相切，故切线PT必过第一、二、三象限，由OP＝2，OT＝1得∠TPO＝30°，从而切线PT的方程为y＝(x＋2)，线段PT＝，圆心(a，)到直线PT的距离为＝，

故RS＝2，从而＝2，

解得a＝4或－2(舍去)．

[答案] 4

1．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．

[解析] 由题意知 ＞1，解得－＜k＜．

[答案] (－， )

2．(2019·扬州期末)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．

[解析] 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝．因为3－2＜d＜3＋2，所以两圆相交．

[答案] 相交

3．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为________．

[解析] 动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0．

又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，

所以 ＝3，解得m＝0．所以a＋c＝2．

又a>0，c>0，所以＋＝(a＋c)＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．

[答案]

4．已知以原点O为圆心的圆与直线l：y＝mx＋(3－4m)，(m∈R)恒有公共点，且要求使圆O的面积最小，则圆O的方程为________．

[解析] 因为直线l：y＝mx＋(3－4m)过定点T(4，3)，由题意，要使圆O的面积最小，则定点T(4，3)在圆上，所以圆O的方程为x2＋y2＝25．

[答案] x2＋y2＝25

5．(2019·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________．

[解析] 由题意可得圆N与圆M内切或内含，则|ON|≥2恒成立，即|ON|min＝|OM|－1≥2，|OM|≥3，即a2＋(a－3)2≥9，又a>0，得a≥3，则a的最小值是3．

[答案] 3

6．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________．

[解析] 直线l被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d＝＝＝，当d取最大值时，m＜0，此时d＝≤，当且仅当－m＝1，即m＝－1 时取等号，即d取得最大值，弦长最短．

[答案] －1

7．(2019·江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．

[解析] 因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0．用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，－6)分别在上述两条直线上，从而求得D＝0，F＝－81，所以所求圆的方程为x2＋y2＝81．

[答案] x2＋y2＝81

8．(2019·南京模拟)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．

[解析] 令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－．

[答案] －

9．(2019·南京市四校第一学期联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m<n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为______．

[解析] 设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．连结MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB．因为∠APB＝60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上．连结OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤≤3，得解得2－≤a≤2＋．所以n≥2＋，m≤2－，所以n－m≥．

[答案]

10．(2019·苏北四市高三质量检测)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________．

[解析] 取AB的中点C，则|＋|＝2||，C的轨迹方程是x2＋y2＝，C1C2＝5，由题意，||的最大值为5＋1＋＝，最小值为5－1－＝，所以|＋|的取值范围为[7，13]．

[答案] [7，13]

11．(2019·南通模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

[解] (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a．

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1．

因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0．

又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．

所以此种情况不存在，所以k2≠0．

即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

所以k1k2＝－1，即(1－a)＝－1．①

又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0．②

由①②联立，解得a＝2，b＝2．

(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在，

k1＝k2，即＝1－a．③

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④

联立③④，解得或

所以a＝2，b＝－2或a＝，b＝2．

12．(2019·江苏高考研究原创卷)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴的正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13．

(1)求圆C的标准方程；

(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

[解] (1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，由题意知，解得a＝1或a＝．

又圆C的面积S＝πR2<13，所以a＝1，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4．

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，不满足题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直线l与圆C相交于不同的两点，

联立，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，

所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，

解得k<1－或k>1＋，

x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝．

在▱OADB中，＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)，假设OD∥MC，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，所以3×＝，解得k＝．

但∈/(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)，

所以不存在直线l，使得直线OD与MC恰好平行．

13．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，F(0，2)，点A，B是圆O上的动点，且FA·FB＝4．

(1)若FB＝1，且点B在第二象限，求直线AB的方程；

(2)是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

[解] (1)显然直线FB的斜率存在，故可设直线FB的方程为y＝kx＋2(k＞0)，

联立方程得，消去y得，(k2＋1)x2＋4kx＝0，

得，

故FB＝＝＝1，

得k＝，点B．

因为FB＝1，且FA·FB＝4，所以FA＝4，

又圆O的半径为2，所以A(0，－2)，

故直线AB的方程为y＝－x－2．

(2)由(1)的求解方法易知，若FB＝1，且点B在第一象限，

则直线AB的方程为y＝x－2，

故若存在符合题意的圆，则圆心在y轴上．

设圆心坐标为(0，m)，易知当AB∥x轴时，直线AB的方程为y＝1，

故|m－1|＝＝，解得m＝或m＝2．

若直线FB，FA的斜率存在，不妨设直线FB，FA的方程分别为y＝k1x＋2，y＝k2x＋2(k1≠k2)，

由(1)的求解方法易知，B，

A，FB＝，FA＝．

又FA·FB＝4，所以·＝4，化简得15kk＝k＋k＋1(*)．

当直线AB的斜率存在且不等于0时，直线AB的方程为＝，

化简得(k1＋k2)x＋(k1k2－1)y＋2(k1k2＋1)＝0，

则点(0，2)到直线AB的距离d＝＝，

把(*)代入上式得d＝1．又|m－1|＝1＝d，故存在定圆x2＋(y－2)2＝1与动直线AB恒相切．

同理点到直线AB的距离d＝＝，

显然不是定值，故不符合题意．

当直线AB的斜率不存在时，易知可取A(1，)，B(1，－)，或A(－1，)，B(－1，－)，显然直线AB与圆x2＋(y－2)2＝1相切．

综上所述，存在定圆：x2＋(y－2)2＝1与动直线AB恒相切．

14．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15 m．把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)

[解] 以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．

过点B作直线l与半圆Q相切，与圆C交于点M，N，连结CM，CN，过点C作CH⊥MN，垂足为H．

设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，

则点Q到l的距离为＝15，

解得k＝或k＝0(舍)．

所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0．

所以点C(160，75)到直线l的距离CH＝＝36．

因为在Rt△CHM中，CH＝36，CM＝72，

所以cos∠MCH＝＝．

又∠MCH∈(0，)，所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝，

所以该游客能看到点B的时长为30×＝10(min)．