2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题五第2讲　圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题


第2讲　圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题
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圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现．

[真题体验]
1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．8
解析：D　[由椭圆＋＝1，知半焦距c＝＝，
∴＝，∴p＝8.]
2．(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：A　[以OF为直径的圆为2＋y2＝，即x2＋y2－cx＝0，
与圆x2＋y2＝a2相减得直线PQ的方程为x＝，
由勾股定理得：＝＝，
∴|PQ|＝＝c，
∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4，
化简得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即e＝.]
3．(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：D　[如图直线AP的方程为y＝(x＋a)，　①

直线PF2的方程为y＝(x－c)，②
①与②联立解得：x＝，y＝(a＋c)，
∴P，
∴|PF2|＝
＝(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c，
∴a＝4c，∴e＝＝.]
4．(2018·全国Ⅲ卷)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
则x1＋x2＝，x1·x2＝1.
∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1
解·＝－1.
化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.
答案：2
[主干整合]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)拋物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．

应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
(3)拋物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．
3．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝ .
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝ .
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)．
②双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)拋物线的焦点坐标与准线方程
①拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程x＝－.
②拋物线x2＝2py(p＞0)的焦点F，准线方程y＝－.
4．弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ |x1－x2|＝ .
(2)过拋物线焦点的弦长
拋物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.

热点一　圆锥曲线的定义与标准方程
[例1]　(1)(2018·天津卷)已知双曲线－＝1，(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点．设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　　 　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　C　[设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c＞0)，则xA＝xB＝c，
由－＝1可得：y＝±，
不妨设：A，B，
双曲线的一条渐近线方程为：bx－ay＝0，
据此可得：d1＝＝，d2＝＝，
则d1＋d2＝＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，
双曲线的离心率：e＝＝ ＝ ＝2，
据此可得：a2＝3，则双曲线的方程为－＝1.]
(2)(2020·太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是拋物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则拋物线的准线方程为____________．
[解析]　由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合．联立消去y得3x2－8ax－3a2＝0，解得xP＝3a(负舍)．由点P在双曲线上得|PF1|－|PF2|＝2a，又因为|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝6－a，又因为点P在拋物线上，所以|PF2|＝3a＋2a＝5a＝6－a，解得a＝1，所以拋物线的准线方程为x＝－2a＝－2.
[答案]　x＝－2

圆锥曲线定义及标准方程的关注点
1．圆锥曲线的定义是根本，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．
2．当焦点位置无法确定时，拋物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
3．注意数形结合，提倡画出合理草图．

(1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：B　[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a.
又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，
∴|BF2|＝a，|AF2|＝|AF1|＝a，
|BF1|＝a.
又|F1F2|＝2.
∴＝－
解得a2＝3，∴b2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.选B.]
(2)(2020·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的拋物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是拋物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．8
解析：A　[因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，
所以可得以C(1,0)为焦点的拋物线方程为y2＝4x，
由解得A(1,2)．
拋物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.]
热点二　圆锥曲线的几何性质
数学
运算
素养
数学运算——圆锥曲线的性质与不等式综合中的核心素养
以学习过的圆锥曲线和不等式相关知识为基础，通过将已知条件代数化，并进行一系列的数学运算，从而解决问题.
[例2]　(1)(2019·长沙二模)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　D　[设P，线段F1P的中点Q的坐标为，

y2＝，y2≥0.
但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2＞0，
即3c2－a2＞0，即e2＞，故＜e＜1.
当不存在时，b2－2c2＝0，y＝0，
此时F2为中点，即－c＝2c，得e＝，
综上，得≤e＜1，
即所求的椭圆离心率的取值范围是.故选D.]
(2)(2020·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±4x
[解析]　B　[由题意可设渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率kl＝－，直线方程为y＝－，
整理可得ax＋by－a2＝0.
焦点(c,0)到直线的距离
d＝＝，
则弦长为2＝2 ＝c，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，
即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0.
又双曲线的离心率e＞1，则e＝＝2，
又＝＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.]

(1)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值；在双曲线中由于e2＝1＋2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．
(2)圆锥曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆＋＝1(a＞b＞0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．

(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A. B．2
C. D．2
解析：D　[∵e＝＝＝.
∴＝±1.
∴双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.
故答案选D.]
(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________．
解析：

设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
由题意可知A，
由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，
∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2(舍)，e2＝4－2.由0＜e＜1，得e＝－1.
答案：－1
(3)(2019·临沂三模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与拋物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
解析：

由e＝＝2，得c＝2a，b＝a，所以双曲线的渐近线为y＝±x.又拋物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线和拋物线的准线方程得A，B，
在△AOB中，|AB|＝p，O到AB的距离为，
因为S△AOB＝，所以·p·＝，p＝2.
答案：2
热点三　直线与圆锥曲线
[例3]　(2019·江苏卷)如图，

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
[审题指导]　(1)直接根据条件运用椭圆的定义求解．
(2)思路1：结合(1)中结论求出点A的坐标，写出直线AF1的方程，并与圆的方程联立得点B的坐标，从而写出直线BF2的方程，将其与椭圆方程联立求得点E的坐标．
思路2：连接EF1，注意到∠A＝∠B＝∠BF1E，所以EF1∥F2A，可得EF1⊥x轴，从而可得点E的横坐标为－1，将x＝－1与椭圆方程联立可得点E的坐标．
[解]　(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，c＝1.
又因为DF1＝，AF2⊥x轴，
所以DF2＝ ＝ ＝.
因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.
由b2＝a2－c2，得b2＝3.
因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)方法1：由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．
又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.
由得5x2＋6x－11＝0，
解得x＝1或x＝－.
将x＝－代入y＝2x＋2，解得y＝－.
因此B.
又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．
由得7x2－6x－13＝0，
解得x＝－1或x＝.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.
将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.
因此E.

方法2：由(1)知，椭圆C：
＋＝1.
如图，连接EF1.
因为BF2＝2a，
EF1＋EF2＝2a，
所以EF1＝EB，
从而∠BF1E＝∠B.
因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.
所以∠A＝∠BF1E，
从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．
因为F1(－1,0)，由得y＝±.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.
因此E.

1．在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|＝|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算．
2．对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．

(1)(2019·日照三模)中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：C　[由已知知c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1，故选C.]
(2)(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：D　[如图焦点F(1,0)，

直线的方程为y＝(x＋2)，
将其代入y2＝4x得：x2－5x＋4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝5，x1x2＝4，
∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(x1＋2)·(x2＋2)
＝x1x2－(x1＋x2)＋
＝×4－×5＋＝8.故选D.]


限时50分钟　满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2019·天津卷)已知拋物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　　　 　　　　 B.
C．2 D.
解析：D　[双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝＝ .
l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
故得A，B，
所以|AB|＝，＝4，b＝2a，
所以e＝＝＝.故选D.]
2．(2020·贵阳监测)已知拋物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，且该拋物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：C　[

如图，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝ ＝，故选C.]
3．(2020·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：A　[由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.]
4．(2019·全国Ⅲ卷)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：A　[忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．由a＝2，b＝，c＝＝.
∵|PO|＝|PF|，∴xP＝，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y＝x上，
∴S△PFO＝|OF|·|yP|＝××＝，故选A.]
5．(2019·烟台三模)过拋物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于A，B两点，若E在A，B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则△ABC外接圆的半径是(　　)
A．(－1)p B．p
C.p D．2p
解析：B　[因为直线过拋物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，且与其对称轴垂直，∴A，B，由y′＝可知E在A，B两点处的切线斜率为k1＝1，k2＝－1，
∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC，
即△ABC为直角三角形，又|AB|＝2p，所以△ABC外接圆的半径是p.]
6．以拋物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：B　[设出拋物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解．
设拋物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
拋物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
7．(2020·深圳模拟)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝，则拋物线C2的方程为____________．
解析：由题意，知圆C1与拋物线C2的其中一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．∵|AB|＝，
∴∴即A.将A的坐标代入拋物线方程得2＝2p×，∴p＝，∴拋物线C2的方程为y2＝x.
答案：y2＝x
8．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为____________．
解析：设直线方程为y＝k(x＋c)，
由得A点坐标为A，
由得B点坐标为B
∵＝，
∴A为F1B的中点，
∴
整理得b＝3ak.①
∵＝，
＝，
·＝0.
∴2－c2＋2＝0
整理得c2k2＝(b－ak)2②
由①②得＝2
∴C的离心率e＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
9．(2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求||.
解：

(1)设直线l的方程为y＝x＋b，
A(x1，y1)，B(x2，y2)
由得x2＋(3b－3)x＋b2＝0.
∴x1＋x2＝＝，
又|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝＋＝4.
解得b＝－，∴直线l的方程为y＝x－.
(2)设直线l的方程为y＝(x－a)，则P(a,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x，得y2－2y－3a＝0.
∵＝3，∴y1＝－3y2.
又，解得a＝1.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－3，
∴|AB|＝ ·
＝ ·＝.
10．(2019·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xp＝－，代入y＝kx＋2得yp＝，进而直线OP的斜率＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
11．(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C、D和点Q共线，求k.
解：(1)由题意得2c＝2，∴c＝
又∵e＝＝，∴a＝
∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆标准方程为＋y2＝1
(2)设直线AB的方程为：y＝x＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立，得：4x2＋6mx＋3m2－3＝0
又∵Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0，
∴m2＜4，

|AB|＝|x1－x2|＝×＝
∴m2＝0时，|AB|max＝
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)
x＋3y＝3①
x＋3y＝3②
又∵P(－2,0)，故设k1＝kPA＝，
∴直线PA的方程为：y＝k1(x＋2)
联立，消y得(1＋3k1)x2＋12kx＋12k－3＝0
x1＋x3＝－，∴x3＝－－x1
又k1＝，代入①式得
∴x3＝，∴y3＝
∴C，同理可得D
易知：＝(x3＋，y3－)，＝(x4＋，y4－)
∵Q，C，D三点共线，∴(x3＋)(y4－)－(x4＋)(y3－)＝0
代入C，D坐标化简得：＝1，∴k＝1