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2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题一第4讲 不等式

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4讲 不等式

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1不等式的解法

4

 

 

不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式是考查重点.试题多与集合、函数等知识交汇命题以填空题的形式呈现属中高档题.不等式成立问题会在压轴题中出现难度较大不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现主要利用基本不等式求最值.

2.基本不等式

10

13

10

3不等式成立问题

 

 

 

4.线性规划

 

 

 

5.不等式的实际应用

 

 

 

1必记的概念与定理

已知x>0y>0则:

(1)如果积xy是定值p那么当且仅当xyxy有最小值是2(简记:积定和最小)

(2)如果和xy是定值p那么当且仅当xyxy有最大值是(简记:和定积最大)

确定二元一次不等式表示的平面区域时经常采用直线定界,特殊点定域的方法.

直线定界即若不等式不含等号则应把直线画成虚线;若不等式含有等号把直线画成实线;特殊点定域即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0y0)作为测试点代入不等式检验若满足不等式则表示的就是包括该点的这一侧否则就表示直线的另一侧.特别地C 0常把原点作为测试点;当C0常选点(10)或者(01)作为测试点.

2记住几个常用的公式与结论

(1)几个重要的不等式

a2b22ab(abR)2(ab同号)

ab(abR)(abR)

(2)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2bxc>0(a0)再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式的解集.

(3)简单分式不等式的解法

变形>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)g(x)0

变形0(0)f(x)g(x)0(0)g(x)0

(4)两个常用结论

ax2bxc>0(a0)恒成立的条件是

ax2bxc<0(a0)恒成立的条件是

3需要关注的易错易混点

(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系最后通过一次性不等关系的运算求解范围.

(2)在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得若忽略了某个条件,就会出现错误.

不等式的解法

[典型例题]

(1)(2019·江苏省高考名校联考())已知函数f(x)=-4x22axb(abR)的值域为(0]若关于x的不等式f(x)m的解集为[cc8]则实数m的值为________. 

(2)(2019·苏州第一次质量预测)已知函数f(x)若不等式f(x)5mx恒成立则实数m的取值范围是________

解析】 (1)因为函数f(x)=-4x22axb(abR)的值域为(0]所以函数的最大值为0.令f(x)0可得Δ4a24×(4)×(b)4a216b0b关于x的不等式f(x)m可化简为4x22axbm04x22axm0.又关于x的不等式f(x)m的解集为[cc8]所以方程4x22axm0的两个根为x1cx2c8|x1x2|2(x1x2)24x1x264()24()64解得m=-64

(2)作出函数f(x)的大致图象如图所示g(x)5mxg(x)恒过点(05)f(x)g(x)恒成立并数形结合得-m0解得0m

答案】 (1)64 (2)

二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识也是高考的热点.本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法.突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法.

[对点训练]

1(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷())已知函数f(x)f(a)f(f(2))则实数a的取值范围为________

[解析] 由题意知f(2)()231f(1)1所以不等式化为f(a)>1.当a0f(a)()a3>1解得a<2;当a>0f(a)>1解得a>1.因而a的取值范围为(2)(1)

[答案] (2)(1)

2已知函数f(x)的定义域为A2Aa的取值范围是________

[解析] 因为2A所以44aa21<0a24a3<0解得1<a<3

[答案] 1<a<3

基本不等式

[典型例题]

(1)(2019·南通市高三调研)若正实数xy满足xy1,则的最小值是________

(2)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOyP是曲线yx(x>0)上的一个动点则点P到直线xy0的距离的最小值是________

解析】 (1)因为正实数xy满足xy1所以4248当且仅当xy所以的最小值是8

(2)Px>0则点P到直线xy0的距离d4当且仅当2xx时取等号故点P到直线xy0的距离的最小值是4

答案】 (1)8 (2)4

用基本不等式求函数的最值关键在于将函数变形为两项和或积的形式然后用基本不等式求出最值.在求条件最值时一种方法是消元转化为函数最值;另一种方法是将要求最值的表达式变形然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件.

[对点训练]

3(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数xy满足15xy22x3y3x2y2的最小值为________

[解析] x3y3x2y2x3xy3yx2y2xy3x2y2x2y2xy2x2xy2x2xy6xxy1当且仅当xy时取等号x3y3x2y2的最小值为1

[答案] 1

4(2018·高考江苏卷)ABCABC所对的边分别为abcABC120°ABC的平分线交AC于点DBD14ac的最小值为________

[解析] 因为ABC120°ABC的平分线交AC于点D所以ABDCBD60°由三角形的面积公式可得acsin 120°asin 60°csin 60°化简得acaca>0c>0所以14ac(4ac5529当且仅当c2a时取等号4ac的最小值为9

[答案] 9

线性规划

[典型例题]

(1)已知实数xy满足x2y2的取值范围是________

(2)zkxy其中实数xy满足z的最大值为12则实数k________

解析】 (1)不等式组所表示的平面区域是以点(02)(10)(23)为顶点的三角形及其内部如图所示.因为原点到直线2xy20的距离为所以(x2y2)min又当(xy)取点(23)x2y2取得最大值13x2y2的取值范围是

(2)作出可行域如图中阴影部分所示

由图可知当0k<直线y=-kxz经过点M(44)z最大所以4k412解得k2(舍去);当-k直线y=-kxz经过点(02)z最大此时z的最大值为2不合题意;当-k<0直线y=-kxz经过点M(44)z最大所以4k412解得k2符合题意.综上可知k2

答案】 (1) (2)2

确定二元一次不等式()表示的平面区域的方法

(1)直线定界特殊点定域即先作直线再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组则不等式()表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.

(2)当不等式中带等号时边界画为实线不带等号时边界应画为虚线特殊点常取原点.

[对点训练]

5(2019·江苏名校高三入学摸底)若变量xy满足不等式组的最小值为________

[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中OAB(含边界)所示作直线lxy0若向上平移直线lxy的值增大当平移至过点B(24)xy取得最大值6此时取得最小值

[答案]

6(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)xy满足约束条件若目标函数zaxby(a>0b>0)的最大值为MM的取值范围是[12]则点P(ab)所组成的平面区域的面积是________

[解析] 作出约束条件

表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB及其内部)

将目标函数zaxby(a>0b>0)化为直线方程的形式为y=-x

若-2当直线y=-x经过点A(10)zaxby(a>0b>0)取得最大值Ma[12]

得点P(ab)所组成的平面区域如图2中阴影部分所示

此时点P(ab)所组成的平面区域的面积为

若->2当直线y=-x经过点B(02)zaxby(a>0b>0)取得最大值M2b[12]

得点P(ab)所组成的平面区域如图3中阴影部分所示

此时点P(ab)所组成的平面区域的面积为

综上P(ab)所组成的平面区域的面积为

[答案]

不等式的实际应用

[典型例题]

第五届上海智能家居展览会201775日-77日在上海新国际博览中心举行全面展示当前最新的智能家居.某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务,由于2016年没有进行促销活动该企业的某品牌套餐全年的销量只有125万套如果延续2016年的经营策略预计2017年的销量只有2016年的80%为了不断拓展市场提高经营效益拟在2017年借第五届上海智能家居展览会的东风对该品牌套餐进行促销活动.经过市场调研该品牌套餐的年销量x万套与年促销费用t万元之间满足关系:x(t0).预计2017年生产设备的固定成本为4万元每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本,若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和则当年生产的该品牌套餐正好能销售完.

(1)将该企业2017年的利润y万元表示为关于年促销费用t万元的函数;

(2)该企业2017年的促销费用为多少万元时企业的年利润最大?

(注:利润=销售收入-生产成本-促销费用生产成本=固定成本+可变成本)

】 (1)由题意可知在x(t0)

t0x125×081代入上式得m1

所以x(t0)

当年生产x万套时年生产成本为

27x427×4

当年销售x万套时年销售收入为160%×40%×t

由题意生产x万套该品牌套餐正好销售完由利润=销售收入-生产成本-促销费用

y160%×40%×tt

所以y(t0)

(2)y×(11318)57

当且仅当t1t8时等号成立即当该企业2017年的促销费用为8万元时企业的年利润最大且最大值为57万元.

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)此类型的题目往往较长解题时需认真阅读从中提炼出有用信息建立数学模型转化为数学问题求解.

(2)当运用基本不等式求最值时若等号成立的自变量不在定义域内时就不能使用基本不等式求解此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

[对点训练]

7(2019·苏州调研)如图GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库ABy km并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF(其中边EFGH)现从仓库AGH和中转站分别修两条道路ABAC已知ABAC1ABC60°

(1)y关于x的函数解析式;

(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km两条道路造价为3万元/km问:x取何值时该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低?

[] (1)因为AByABAC1所以ACy1

在直角三角形BCF因为CFxABC60°

所以CBF30°BC2x

由于2xy1 >yx>

ABC因为AC2AB2BC22AB·BCcos 60°

所以(y1)2y24x22xy

y.由y 0x>x 1

y关于x的函数解析式为y(x 1)

(2)M3(2y1)4x34x

x1tM34(t1)

16t2549

txy总造价M最低.

所以x该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低.

1函数f(x)lg(2xx2)的定义域为__________

[解析] 1<x<00<x<2所以函数f(x)的定义域为(10)(02)

[答案] (10)(02)

2已知t>0则函数y的最小值为________

[解析] 因为t>0所以yt424=-2且在t1时取等号.

[答案] 2

3(2019·高三第一次调研测试)若实数xy满足xy2x3xy的最小值为______

[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示zxy数形结合易知当直线zxy过点A(33)z取得最小值zmin=-6

[答案] 6

4(2019·苏北四市高三质量检测)f(x)是定义在R上的奇函数x0f(x)2x3则不等式f(x)5 的解集为________

[解析] 因为当x0f(x)2x3

所以当x0即-x0f(x)2x3因为函数f(x) 是定义在R上的奇函数

所以f(x)2x3=-f(x)

所以f(x)=-2x3

x0不等式f(x)5等价为2x35

2x2无解x0不等式不成立;

x0不等式f(x)5等价为-2x35

2x8

x3

x0f(0)0不等式f(x)5不成立.

综上不等式f(x)5的解集为(3]

[答案] (3]

5某公司一年购买某种货物600,每次购买x运费为6万元/一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小x的值是________

[解析] 一年购买则总运费与总存储费用之和为×64x48240当且仅当x30时取等号故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30

[答案] 30

6(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x(1)(5)都有x22(a2)xa0则实数a的取值范围是________

[解析] f(x)x22(a2)xaf(x)0由题意得Δ4(a2)24a0所以1a44a5

即实数a的取值范围是(15]

[答案] (15]

7(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数xy满足x4yxy0xym恒成立则实数m的取值范围为______

[解析] x4yxy0x4yxy等式两边同时除以xy1由基本不等式可得xy(xy5259当且仅当x2y6等号成立所以xy的最小值为9因为m9

[答案] m9

8R上定义运算:x*yx(1y)若不等式(xa)*(xa)1对任意的x恒成立则实数a的取值范围是________

[解析] 由于(xa)*(xa)(xa)(1xa)则不等式(xa)*(xa)1对任意的x恒成立x2xa2a10恒成立所以a2a1x2x恒成立x2xa2a1解得-a

[答案]

9min{ab}ab两数的最小值.当正数xy变化时tmint的最大值为______

[解析] 因为x0y0所以问题转化为t2(2xy2当且仅当xy时等号成立所以0t所以t的最大值为

[答案]

10(2019·宁波统考)已知函数f(x)loga(x2a|x|3)(a>0a1).若对于-1x1<x2的任意实数x1x2都有f(x1)f(x2)<0成立则实数a的范围是________

[解析] 易知已知函数为偶函数则当x时为减函数.

对于x f(x)loga(x2ax3)(a>0a1)

g(x)x2ax3

由题意得:

2a<40<a<1

[答案] (01)[24)

11已知x0a为大于2x的常数

(1)求函数yx(a2x)的最大值;

(2)yx的最小值.

[] (1)因为x0a2x

所以yx(a2x)×2x(a2x)

当且仅当x时取等号故函数的最大值为

(2)y2

当且仅当x时取等号.

yx的最小值为

12已知关于x的不等式>0

(1)a2求此不等式的解集;

(2)a>2求此不等式的解集.

[] (1)a2不等式可化为>0

所以不等式的解集为{x|2<x<1x>2}

(2)a>2不等式可化为>0

当-2<a<1解集为{x|2<x<ax>1}

a1解集为{x|x>2x1}

a>1解集为{x|2<x<1x>a}

13(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓其中AB99 mAD495 m.现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(nN*)每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF1 m)这部分的建设造价为每平方米314元.

(1)n20求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π)

(2)试确定大棚的个数使得上述两项费用的和最低.(计算中π314)

[] (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r

n20共有19块空地所以r2(m)

所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)

πr2πr×ADπ×22×495103π(m2)

即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m2

(2)设两项费用的和为f(n)

因为r

所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)

Sπr2πr×ADπ×π×495×

f(n)10nS314×1×495(n1)

10n×π×495×]314×1×495(n1)

314×[495×495(n1)]

×[99(100n)198(n1)]

×(100n9 502)

×[100×9 502]

因为n220当且仅当n10时等号成立

所以当且仅当n10f(n)取得最小值

即当大棚的个数为10个时上述两项费用的和最低.

14m是常数集合M{m|m>1}f(x)log3(x24mx4m2m)

(1)证明:当mMf(x)对所有的实数x都有意义;

(2)mM求函数f(x)的最小值;

(3)求证:对每个mM函数f(x)的最小值都不小于1

[] (1)证明:f(x)log3

mMm>1(x2m)2m>0恒成立f(x)的定义域为R

(2)g(x)x24mx4m2m因为ylog3g(x)是增函数所以g(x)最小时f(x)最小

g(x)(x2m)2m

显然当x2mg(x)的最小值为m

此时f(x)minlog3

(3)证明:mMmm11

213

所以log3log331结论成立.

 

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