2020届高考数学二轮教师用书：第二章第5节　对数与对数函数

第5节　对数与对数函数

1．对数的概念

(1)对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作　x＝logaN　，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两种常见对数：

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③alogaN＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)．

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝　logaM＋logaN　；

②loga＝　logaM－logaN　；

③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)；

④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：　logbN＝　(a，b均大于零且不等于1)；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝　logad　.

3．对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线　y＝x　对称．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 )

(2)log2x2＝2log2x.(　　 )

(3)当x>1时，logax>0.(　　 )

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　 )

(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

[小题查验]

1．(log29)·(log34)等于(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．2  D．4

解析：D　[法一：原式＝·＝＝4.

法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.]

2．(2019·龙岩市模拟)a＝－log2，b＝3log2，c＝2log3，则a，b，c的大小关系是(　　 )

A．c＜a＜b  B．a＜b＜c

C．a＜c＜b  D．c＜b＜a

解析：D　[a＝－log 2＝log32∈，0＜b＝3log2＜3－1＝，c＝2log3＜0，可得c＜b＜a，故选D.]

3．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　 )

解析：B　[∵lg a＋lg b＝0，∴a＝，又g(x)＝－logbx＝logx＝logax(x>0)，∴函数f(x)与g(x)的单调性相同，故选B.]

4．(教材改编)函数y＝的定义域为　________　.

解析：由，解得x∈.

答案：

5．(2019·西安市模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f>0的解集为　________　.

解析：∵f(x)是R上的偶函数，

∴它的图象关于y轴对称．

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，

由f＝0，得f＝0.

∴f>0⇒logx<－或logx>

⇒x>2或0<x<，∴x∈∪(2，＋∞)．

答案：∪(2，＋∞)

考点一　对数的基本运算(自主练透)

[题组集训]

1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝　________　.

解析：根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7.

答案：－7

2.＝　________　.

解析：原式＝

＝＝－.

答案：－

3．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝　________　.

解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a，

∴log3528＝＝＝.

答案：

对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

考点二　对数函数的图象及应用(子母变式)

直观想象——数形结合法在对数函数问题中的应用

对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．

[母题]　当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C．(1，)  D．(，2)

[破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法．

 [解析]　B　[法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知，f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为.

法二：∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1，

∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝，

则有4＝2，log＝1，显然4x<logax不成立，排除选项A.]

[子题]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是　________________________　.

解析：由x2－logax<0得x2<logax，

设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，

要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，

只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；

当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，

所以有2≤loga，解得a≥，∴≤a<1.

即实数a的取值范围是.

答案：

应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

考点三　对数函数的性质及应用(师生共研)

[命题角度1]　比较对数值的大小　

1．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a＜b＜c　　　　　 B．a＜c＜b

C．c＜a＜b  D．b＜c＜a

解析：B　[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1,0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.]

[命题角度2]　解简单的对数不等式　

2．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为　________　.

解析：∵f(x)＝logax，

则y＝|f(x)|的图象如右图．

由图知，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，只需≤1，

即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa.

当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；

当0<a<1时得a－1≥≥a，得0<a≤.

综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．

答案：∪[3，＋∞)

[命题角度3]　与对数有关的复合函数问题　

3．已知函数f(x)＝log(x2－ax－a)在上是增函数，则实数a的取值范围是(　　 )

A．[－1，＋∞)　　　　　 B.

C.  D．(－∞，－1]

解析：B　[f(x)＝log (x2－ax－a)在上是增函数，说明内层函数μ(x)＝x2－ax－a在上是减函数且μ(x)＞0成立，只需对称轴x＝≥－且μ(x)min＝μ＞0，解得a∈，∴选B.]

对数函数性质及应用中应注意的问题

(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．

(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

1．(2020·北京市模拟)log2＋log26等于(　　 )

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．5  D．6

解析：B　[原式＝log2＝log222＝2.]

2．若实数a，b满足a＞b＞1，m＝loga(logab)，n＝(logab)2，l＝logab2，则m，n，l的大小关系为(　　 )

A．m＞l＞n  B．l＞n＞m

C．n＞l＞m  D．l＞m＞n

解析：B　[∵实数a，b满足a＞b＞1，∴0＝loga1＜logab＜logaa＝1，

∴m＝loga(logab)＜loga1＝0,0＜n＝(logab)2＜1，l＝logab2＝2logab>n＝(logab)2.

∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m.故选B.]

3．函数f(x)＝(0<a<1)图象的大致形状是(　　)

解析：C　[法一：特殊值法：取a＝，当x＝2时，f(2)＝－1＜0，排除A，B.当x＝－2时，f(－2)＝1＞0，排除D.故选C.

法二：当x>0时，f(x)＝logax，由于f(x)为奇函数，结合奇函数的图象特征知选项C符号条件．]

4．不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：B　[不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足得≤a<，故选B.]

5．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A．f(x)在(0,2)单调递增

B．f(x)在(0,2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称

解析：C　[由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误；又f′(x)＝－＝(0＜x＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A，B错误．故选C.]

6．(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝　________　.

解析：f(－x)＝ln (＋x)＋1(x∈R)，

f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln (＋x)＋1＝ln (1＋x2－x2)＋2＝2，

∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.

答案：－2

7．(2020·河南市模拟)已知函数y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则f的值等于　________　.

解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∵当x＞0时，f(x)＝log2x，

∴f＝log2＝－2，

则f＝f(－2)＝－f(2)＝－1.

答案：－1

8．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为　________　.

解析：因为函数y＝ax与y＝logax在[1,2]上的单调性相同，所以函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝(a＋loga1)＋(a2＋loga2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，故a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．

答案：2

9．计算：

(1)÷100－；

(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋.

解：(1)(lg－lg 25)÷100－＝－2lg 10÷＝－20.

(2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋＝

lg (lg 2＋lg 5)＋|lg －1|＝lg ＋1－lg＝1.

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，

且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.

由得x∈(－1,3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)

＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.