圆锥曲线二级结论（3）讲义-2022届山东省高考数学二轮复习学案

六、焦点三角形几何性质

【知识讲解】

1. 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，则：; ;

2. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，，则：; ;

【典型例题】

1. 已知是椭圆上的一点，为焦点，若，，则椭圆的离心率为（  ）。
2. 设是椭圆上的一点，且，则的面积为（  ）。

【变式训练】

1. 已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积为（  ）。
2. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是（                            ）。

七、圆锥曲线的光学性质

【知识讲解】

1.1  已知椭圆：的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，则有：①椭圆在点处的切线平分焦点三角形的外角；②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分。

1.2  椭圆的光学性质：由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线为镜面，为法线）后，反射光线经过另一个焦点。

2 双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。

①双曲线在点处的切线平分；

②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分的外角。

3 抛物线的光学性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴。

【典型例题】

1. 已知是椭圆的左右焦点，点，则的角平分线的斜率为（ ）。
2. 已知点是双曲线右支上的动点，分别是双曲线的左右焦点，的角平分线与轴交于点，设双曲线的半焦距为，若的取值范围是，则双曲线的离心率是（              ）。

【变式训练】

1. 已知椭圆经过点，左右焦点分别为。若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为，为椭圆上一点，当面积最大时，求点的坐标。

椭圆的左右焦点分别是。点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，连接，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围。