北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画优质教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画优质教学设计，共7页。

§2 实际问题中的函数模型


2.1 实际问题的函数刻画














实际问题的函数刻画


(1)用函数刻画实际问题的条件：


在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．


(2)用函数刻画实际问题的方法：


函数刻画的方法可以使用图象，但最多的还是使用解析式．


思考：世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？


提示：先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．





1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )


A.一次函数模型 B．幂函数模型


C.指数函数模型 D．对数函数模型


A [根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．]


2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )





A.y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c


C.y＝aex＋b D．y＝a ln x＋b


B [因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]


3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )





A B C D


C [因为离开家里的路程为d越来越远，所以排除B和D，又该同学先跑后走，所以一开始速度大，离开家的距离d随着时间的增加增长的较快，所以选C.]








利用图象刻画实际问题


【例1】 (1)“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象( )





A B C D


(2)如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱形容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为V＝V(h)，h为水面的高，则函数V＝V(h)的大致图象为( )








(1)C (2)B [(1)由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快，故选C.


(2)由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积越来越大，即此过程体积V(h)增加速度越来越快，由导数几何意义知，曲线切线斜率越来越大，排除C，D，圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体积V(h)增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大，故选B.]





当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．





根据该折线图，下列结论错误的是( )


A.月接待游客量逐月增加


B.年接待游客量逐年增加


C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月


D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳


A [通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动比较大．故选A.]





已知函数模型解决实际问题


[探究问题]


1．如何求形如y＝x＋ eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)的函数的最小值？


提示：利用基本不等式a＋b≥2 eq \r(ab).


2．如何求形如y＝x＋ eq \f(a,x＋m)(x＋m＞0，a＞0)的函数的最小值？


提示：利用换元法转化后用基本不等式求解．


【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．


(1)求k的值及f(x)的表达式；


(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．


[思路点拨] eq \x(把x＝0代入C（x）)→ eq \x(求k的值)→ eq \x(函数f（x）的表达式)→ eq \x(f（x）的最小值)


[解] (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝ eq \f(40,3x＋5)(0≤x≤10)，


∴f(x)＝6x＋ eq \f(20×40,3x＋5)＝6x＋ eq \f(800,3x＋5)(0≤x≤10).


(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋ eq \f(800,3x＋5)－10.


令3x＋5＝t，t∈[5，35]，


则y＝2t＋ eq \f(800,t)－10≥2 eq \r(2t·\f(800,t))－10＝70(当且仅当2t＝ eq \f(800,t)，即t＝20时等号成立)，


此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.


∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．





在例2(2)中，总费用f(x)有最大值吗？如果有，求出这个最大值；如果没有，说明理由．


[解] 由例2可知，f(x)＝2(3x＋5)＋ eq \f(800,3x＋5)－10.


令3x＋5＝t，t∈[5，35]，设g(t)＝2t＋ eq \f(800,t)－10，


设t1，t2∈[5，35](t1＞t2)，则g(t1)－g(t2)＝2t1＋


eq \f(800,t1)－2t2－ eq \f(800,t2)＝2(t1－t2)× eq \f(t1t2－400,t1t2) ，


所以当t1，t2∈[5，20)时，g(t1)－g(t2)＜0；


当t1，t2∈(20，35]时，g(t1)－g(t2)＞0，


所以g(t)在[5，20)上单调递减，在(20，35]上单调递增，又g(5)＝160，g(35)＝ eq \f(580,7)，且160＞ eq \f(580,7)，


所以当t＝5时，g(t)的最大值为160，


即隔热层厚度为0 cm时，总费用f(x)达到最大值为160万元．





求解已给函数模型解决实际问题的关注点


(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．


(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．


(3)利用该模型求解实际问题．














1．解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯．


2．在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系．


3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)先有实际问题，后有模型．( )


(2)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( )


(3)当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画．( )


[提示] (1)正确．


(2)正确．


(3)错误．也可能是用函数y＝x2(x＞0)，y＝x3等其它函数来刻画．


[答案] (1)√ (2)√ (3)×





2．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )








A B C D


D [由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．]


3．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a eq \r(A)(a为常数)，广告效应为D＝a eq \r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)


eq \f(1,4)a2 [令t＝ eq \r(A)(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)a)) eq \s\up8(2)＋ eq \f(1,4)a2.所以当t＝ eq \f(1,2)a，即A＝ eq \f(1,4)a2时，D取得最大值．]


4．某列火车从A地开往B地，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开A地2 h内行驶的路程．


[解] 因为火车匀速行驶的时间为(277－13)÷120 ＝ eq \f(11,5) (h)，所以0≤t≤ eq \f(11,5).


因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t，所以火车行驶的总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤t≤\f(11,5))).


2 h内火车行驶的路程S＝13＋120× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(10,60)))＝233(km).学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点，难点)


2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点)
1.在利用函数刻画实际问题的过程中，培养数学抽象素养．


2．在把实际问题转化为数学模型的过程中，提升数学建模素养．
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27