高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画教课内容课件ppt

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§2　实际问题中的函数模型
2.1　实际问题的函数刻画、用函数模型解决实际问题
【素养目标】1．会利用函数刻画实际问题．2．比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．3．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
【学法解读】1．了解实际问题的函数刻画． (数学抽象、逻辑推理)2．理解利用函数刻画实际问题的过程． (逻辑推理、数学建模)3．了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用． (数学建模)4．掌握求解函数应用题的基本步骤． (数学建模)5．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． (数学建模)
　　　实际问题的函数刻画(1)实际问题的函数刻画：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点刻画实际问题，是学习函数的重要内容．而函数模型是应用最广泛的数学模型之一，许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质来解决．(2)本质：利用函数模型解决实际问题．(3)应用：广泛应用于人们日常生活中遇到的许多问题．
思考1：利用函数刻画实际问题的一般步骤有哪些？提示：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设想比较接近的可能的函数模型；(3)通过研究函数的性质，解决实际问题．
③一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；④二次函数模型：y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)；⑤指数函数模型：y＝m·ax＋b(a＞0，且a≠1，m≠0)；⑥对数函数模型：y＝mlgax＋c(m≠0，a＞0，且a≠1)；⑦幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．
(2)本质：许多实际问题，一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数及其性质，使问题得到解决．(3)应用：用来解决实际生活中常见的函数类型问题．
思考2：选择函数模型时应注意什么问题？提示：选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合，根据散点图选取适当的函数模型、通过待定系数法求解析式，再通过数据验证．
1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550 s，应支付电话费(　　)A．1.00元B．0.90元 C．1.20元D．0.80元
2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　)A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
3．将进货单价为80元的商品按90元/个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个．为了获得最大利润，其售价应定为(　　)A．110元/个B．105元/个 C．100元/个D．95元/个
[解析]　设商品每个涨价x元，利润为y元，则销售量为(400－20x)个．根据题意，得y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500．所以当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500．即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润，故选D．
4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示．试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出_______张门票．
　　　　如图1是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象．
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解析]　(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有 10 人乘车时收支差额为0元，线段AB上(不包括B点)的点表示亏损，线段AB延长线上的点表示盈利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1,2中的票价是2元，图3中的票价是4元．
[归纳提升]　解决图象信息题的关键(1)这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决；(2)挖掘图象中的信息是关键．
【对点练习】❶　甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．
　　　　一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份报纸才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱．[分析]　本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析．
[解析]　设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N＋)份，每月获利润为y元，列表分析如下：
则y＝6x＋750＋0.8x－200－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400，x∈N＋)．∵函数y＝0.8x＋550在x∈[250,400]上是增函数，∴当x＝400时，y取得最大值870．即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元．
[归纳提升]　实际问题中列出的函数关系式，要考虑实际问题对自变量的限制，即注意自变量的实际意义．对于与一次函数有关的最值问题通常借助一次函数的单调性结合定义域来处理．
【对点练习】❷　若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　)
[解析]　蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D；更不可能是A，C．故选B．
　　　　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[分析]　本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
[解析]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125．所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
[归纳提升]　二次函数的实际应用1．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．2．对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
【对点练习】❸　渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
　　　　WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．(1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式；(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
[分析]　由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时x＞500，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为900 min．
[归纳提升]　应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐渐求函数值的范围，最后比较再下结论．
【对点练习】❹　大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22
℃，大约每上升1 km大气温度降低6 ℃，则y关于x的函数关系式为______________________．
(1)从药物释放，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
[归纳提升]　1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．2．对数函数模型可设为y＝klgax＋b．利用条件确定系数，对数函数模型解题的关键是对数运算．
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)A．310元B．300元C．390元D．280元[解析]　由图象知，该一次函数过(1,800)，(2，1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300．
2．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计(　　)A．280元B．320元C．340元D．360元[解析]　由题意可知，1 460＝1 400＋ 20＋40,1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可以获赠购物券280＋ 60＋20＝360(元)．
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个______．[解析]　设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元，y取得最大值．
4．南博汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调查表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？