北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题一等奖教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题一等奖教学设计，共9页。

2.2 用函数模型解决实际问题














1．常见的函数模型


(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；


(2)反比例函数模型：f(x)＝ eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)；


(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；


(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；


(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；


(6)对数函数模型：f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；


(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1).


2．应用函数模型解决问题的基本过程


用函数模型解应用题的四个步骤：


(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；


(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；


(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；


(4)还原——将数学结论还原为实际问题．


思考：1.对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？


提示：在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等．


2．求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？


提示：利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．





1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )


A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100


C．y＝50×2x D．y＝100x


C [当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]


2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤( )


A．4 000只 B．5 000只


C．6 000只 D．7 000只


C [当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2019年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故选C.]


3．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40000辆时，创造的价值达到最大6000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆．


30000或50000 [设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)


则根据题意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0,－\f(b,2a)＝40000,\f(4ac－b2,4a)＝6000)) ，


解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,8)×10－5,b＝\f(3,10),c＝0))


故y＝－ eq \f(3,8)×10－5·x2＋ eq \f(3,10)x，


令y＝5625，解得x＝30000或x＝50000.


故答案为30000或50000.]








利用二次函数模型解决实际问题


【例1】 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少 eq \f(4,5)x(其中x>0)成．


(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？


(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．


[解] 设商品原价格为m，每天的原销售量为n，


则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(x,10)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n，


(1)y＝m· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(x,10)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n＝[－ eq \f(1,125)(x－ eq \f(5,4))2＋ eq \f(81,80)]·m·n.


当x＝ eq \f(5,4)，即涨价12.5%时，每天的营业额最大．


(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(x,10)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n＞m·n，


即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.


又x>0，故0＜x＜ eq \f(5,2).∴x的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2))).





利用二次函数求最值的方法及注意点


(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．


(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100 eq \r(6t)(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．


[解] 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100 eq \r(6t)(0≤t≤24).


设u＝ eq \r(t)，则u∈[0，2 eq \r(6)]，y＝60u2－100 eq \r(6)u＋400＝60 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u－\f(5\r(6),6))) eq \s\up8(2)＋150，


∴当u＝ eq \f(5\r(6),6)即t＝ eq \f(25,6)小时时，蓄水池中的存水量最少．





利用指数、对数型函数模型解决实际问题


【例2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为 eq \f(a,2).为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的 eq \f(1,4).已知到今年为止，森林面积为 eq \f(\r(2),2)a.


(1)求p%的值；


(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？


(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？


[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝ eq \f(a,2)，即(1－p%)10＝ eq \f(1,2)，解得p%＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(\f(1,10))．


(2)设经过m年森林面积为 eq \f(\r(2),2)a，则a(1－p%)m＝ eq \f(\r(2),2)a，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(\f(m,10))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(\f(1,2))，


eq \f(m,10)＝ eq \f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．


(3)设从今年开始，n年后森林面积为 eq \f(\r(2),2)a·(1－p%)n.


令 eq \f(\r(2),2)a(1－p%)n≥ eq \f(1,4)a，


即(1－p%)n≥ eq \f(\r(2),4)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(\f(m,10))≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(\f(3,2))，


得 eq \f(n,10)≤ eq \f(3,2)，解得n≤15，


故今后最多还能砍伐15年．





指数函数模型的应用


在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 eq \f(1,3)，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)


[解] 依题意，得 eq \f(2,100)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(n)≤ eq \f(1,1 000)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(n)≤ eq \f(1,20).则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，


故n≥ eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．





利用分段函数模型解决实际问题


[探究问题]


1．在解决实际问题时，对于自变量x的不同的取值范围，不能用一个统一的解析式来表达，应该如何解决？


提示：写成分段函数的形式．


2．如何求分段函数的定义域和值域？


提示：把分段函数中各段函数的定义域求并集，就是分段函数的定义域，先求出各段函数的值域，分段函数的值域就是各段函数值域的并集．


【例3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40 000，x>200，x∈N，))


其中x是仪器的月产量．


(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；


(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)


[思路点拨] (1)根据“利润＝收入－成本”求解，因为收入为月产量x的分段函数，所以利润也应为月产量x的分段函数；


(2)由(1)中得到的函数，分别求出各段函数的最大值，其中的最大值就是分段函数的最大值．


[解] (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，


∴f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋300x－10 000，0≤x≤200，x∈N，,30 000－100x，x>200，x∈N.))


(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，


所以当x＝150时，有最大值12 500；


当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，


f(x)<30 000－100×200<12 500.


所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.


所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．





在本例中，若总收入满足函数：


H(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(99x－\f(100,x)＋11 000，0≤x＜200，x∈N，,90 000，x≥200，x∈N，))


其中x是仪器的月产量，其余条件不变，


(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；


(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)


[解] (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，


所以f(x)


＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))＋1 000，0≤x＜200，x∈N，,80 000－100x，x≥200，x∈N.))


(2)当0≤x＜200时，f(x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))＋1 000，因为x＋ eq \f(100,x)≥2 eq \r(x×\f(100,x))＝20，


所以f(x)≤－20＋1 000＝980，当x＝10时等号成立；


当x≥200时，f(x)＝80 000－100x是减函数，f(x)≤80 000－100×200＝60 000，


所以当x＝200时，f(x)取最大值，最大值为60 000.


所以每月生产200台仪器时，利润最大，最大利润为60 000元．





应用分段函数时的三个注意点


(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．


(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．


(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．











1．利用函数模型解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：


(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．


2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．


3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( )


(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( )


(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )


[提示] (1)错误．实际问题中的两个变量之间不一定有确定的函数关系．


(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满足实际问题的要求．


(3)错误．用函数模型预测结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )


A．200副 B．400副


C．600副 D．800副


D [由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]


3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( )


A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元


C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元


B [根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067.故选B.]


4．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．


(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？


(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？


[解] (1)租金增加了900元，900÷60＝15，


所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．


(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．


租赁公司的月收益为y元，y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，


其中x∈[0，100]，x∈N，


整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000＝－60(x－26)2＋324 560，


当x＝26时，y＝324 560，即最大月收益为324 560元．


此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用已知函数模型求解实际问题．(重点)


2．能自建确定性函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1. 通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养．


2．通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．