数学必修 第一册2.1 古典概型精品教案设计

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§2 古典概型


2.1 古典概型














1．随机事件的概率


对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画．


2．古典概型


(1)古典概型的定义：一般地，若试验E具有如下特征：


①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间；


②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．


则称这样的试验模型为古典概率模型．


(2)古典概型的概率计算公式：如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为


P(A)＝ eq \f(A包含的样本点个数,Ω包含的样本点总数)＝ eq \f(m,n).


思考：(1)“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？


提示：不属于古典概型．因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．


(2)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？


提示：不一定．还必须满足每个基本事件出现的可能性相等，才属于古典概型．





1．下列试验是古典概型的是( )


A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取出白球}和{取出黑球}


B．在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0


C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面


D．某人射击中靶或不中靶


C [根据古典概型的两个特征进行判断．A中两个基本事件不是等可能的，B中基本事件的个数是无限的，D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特征．]


2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )


A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D．1


C [从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝ eq \f(2,3).]


3．某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有( )


A．2个 B．3个 C．4个 D．5个


B [选择的所有可能情况是：{音乐，美术}，{音乐，体育}，{美术，体育}，所以共有3个．]








古典概型的判断


【例1】 (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？





(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中).你认为这是古典概型吗？为什么？


[解] (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但这个试验不是古典概型．


(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．





判断一个试验是古典概型的依据


判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．下列试验是古典概型的为________(填序号).


①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；


②同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为6的概率；


③近三天中有一天降雨的概率；


④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．


①②④ [①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]





利用古典概型公式求概率


【例2】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：


(1)所取的2道题都是甲类题的概率；


(2)所取的2道题不是同一类题的概率．


[解] (1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，


这个试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．


用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点，所以P(A)＝ eq \f(6,15)＝ eq \f(2,5).


(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝ eq \f(8,15).





求解古典概型概率“四步”法








eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．


[解] 这个试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}．样本点总数n＝6，令“掷得奇数点”为事件A，则A＝{1，3，5}，其包含的样本点个数m＝3，所以P(A)＝ eq \f(3,6)＝ eq \f(1,2).





较复杂的古典概型的概率计算


[探究问题]


1．如何求试验的样本点的总数？


提示：求某个试验的样本点的总数，常用的方法是列举法，注意做到不重不漏．


2．使用古典概型概率公式应注意什么？


提示：(1)首先确定试验是否为古典概型．(2)事件A是什么，包含的样本点有哪些，样本点的个数是多少．





【例3】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：





①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．


假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．


(1)求小亮获得玩具的概率；


(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．


[思路点拨] eq \x(写出试验的样本空间)→


eq \x(计算所求概率事件的样本点数)→ eq \x(应用古典概型概率公式计算概率)


[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，


则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．


因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.


(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，


即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．


所以P(A)＝ eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为 eq \f(5,16).


(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.


则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．


所以P(B)＝ eq \f(6,16)＝ eq \f(3,8).


事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．


所以P(C)＝ eq \f(5,16).因为 eq \f(3,8)＞ eq \f(5,16)，


所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．





1．在本例中求小亮获得玩具或水杯的概率．


[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，


则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．


因为S中元素的个数是4×4＝16，


所以样本点总数n＝16.


记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，


则事件E包含的样本点个数共11个，


即E＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．


所以P(E)＝ eq \f(11,16).


2．在本例中奖励规则改为：


①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率．


[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，


则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．


因为S中元素的个数是4×4＝16，


所以样本点总数n＝16.


记“3≤x＋y≤5”为事件D，


则事件D包含的样本点个数共9个，


即D＝{(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)}．


所以P(D)＝ eq \f(9,16).





解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：


(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．


(2)计算基本事件的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．











解决古典概型应注意的问题


(1)判断试验是否具有有限性和等可能性．


(2)要分清样本点的总数n及事件A包含的样本点个数m，利用公式P(A)＝ eq \f(m,n)求解．


(3)常用列举法、列表法、树状图法求样本点的总数．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)任何一个事件都是一个样本点．( )


(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )


(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )


[提示] (1)错误．一个事件可能是一个样本点，也可能包含若干个样本点．


(2)正确．


(3)正确．古典概型中任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”(1尺＝10寸)现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )


A． eq \f(125,216) B． eq \f(8,27) C． eq \f(4,9) D． eq \f(1,4)


C [有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，


可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，


∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p＝ eq \f(96,216)＝ eq \f(4,9).故选C.]


3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )


A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)


C [基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率：P＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3).]


4．单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？


[解] 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，样本空间Ω＝{A，B，C，D}，因此样本点总数为4.设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个样本点，所以P(A)＝ eq \f(1,4).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.学会多途径获取数据，包括：统计报表、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等．(重点)


2．了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性．(难点、易混点)
1．通过对总体、样本等概念的学习，培养数学抽象素养．


2．通过学习获取数据的途径，培养数据分析素养．