北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画教案设计

《实际问题的函数刻画(1)》教学设计

1.学习在实际情境中确认与问题相关的因素，把握各因素之间的关系，提高阅读理解的能力．

2. 学习用数学表达实际问题中因素之间的关系，体会数学的应用价值．

重点：分析实际问题中各相关因素之间的关系，建立刻画实际问题的函数模型．

难点：建立刻画实际问题的函数模型．

一、情境导入

情境：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式．

设计意图：通过实际情境，使学生明确函数可以描述客观世界的变化规律，为接下来的讲解铺垫．

二、新知探究

问题1：某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）

追问1：这个问题涉及了哪几个因素？

答案：①生产总成本（记作元）与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系；

②销售总收入（记作元）与销售量及销售单价有关系；

③总收益（记作元）与生产总成本及销售总收入有关系．

追问2：这几个因素之间存在怎样的关系？

答案：总收益总收入总成本．

追问3：如何用函数表示上述关系？

答案：销售单价、单件产品的直接成本和研发费用都是定量；当产品畅销时，销售量等于产量，产量是变量，可以设为件．

①生产总成本与产量的关系为；

②销售总收入与产量的关系为；

③总收益与产量的关系为．

关于的函数图象如图．

追问4：产量在什么范围时，该公司可以盈利？

答案：从图中清晰可见：产量件是关键点，若，则要亏损；若，则总收益为；若，则可盈利．

追问5：该公司若想盈利万元，应生产多少件该产品？

答案：令，解得：．故该公司若想盈利万元，应生产件该产品．

设计意图：通过生活中常见的成本、利润测算模型，让学生体验实际问题数学化的过程．

问题2 如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由对减薄率为的轧辊组成（减薄率为：输入该对轧辊的带钢厚度减去从该对轧辊输出的带钢厚度的差再与输入该对轧辊的带钢厚度之比），所有轧辊周长均为，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？

追问1：带钢宽度不变意味着什么？不考虑损耗意味着什么？

答案：带钢宽度不变意味着经过轧辊后带钢变长，不考虑损耗意味着带钢的体积不变．

追问2：若第对轧辊有缺陷，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？

答案：设轧钢初始厚度为，宽度为．

经过第对轧辊后，带钢厚度变为，则有，解得：．

相邻疵点间距为轧辊周长，因此，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积为．

追问3：若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？

答案：由上面的讨论可知，

若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积为．

若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积为．

… …

可得，若第对轧辊有缺陷，则在该处输出的相邻疵点间的带钢体积为，．

追问4：在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，如何表示最终输出的相邻疵点的带钢体积？

答案：因为轧钢初始厚度为，宽度为．经过对轧辊后，厚度变为，宽度不变，相邻疵点间距为，故输出的相邻疵点的带钢体积为．

因为在轧钢过程中，不考虑损耗，所以

即，．

经计算得，，，，．填入表格，可得：

设计意图：提升学生的阅读能力，帮助学生理解生产实际情境，明确解决问题的价值．

　　三、应用举例

例1: 网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”．

（1）脚长和鞋号有什么关系呢？

（2）如果看到一款“号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？

（3）一名脚长为的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？

解：（1）观察上表，设脚长（新鞋码）、鞋号（旧鞋码）分别为，，将每一对数，对应的数对用平面直角坐标系的点来表示，如下图：

可以看出，这些点在一条直线上，不妨将这条直线表示为．利用表格中的任意两组数，得，．因此．

这就是鞋号关于脚长的函数模型．

（2）当时，，即能穿号鞋的女童的脚长不超过．

（3）当时，，即脚长为的女篮球运动员应穿43号的鞋．

四、课堂练习

1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售辆车，则能获得的最大利润为(　　)

A．45.606万元     B．45.6万元     C．45.56万元     D．45.51万元

2.一新型气枪发射子弹的速度与枪管的半径的四次方成正比，已知枪管直径为时，子弹速度为．若用管道半径为的气枪瞄准高空中一水平飞行的物体，子弹发出秒打中，则子弹发射走过的路程为(　　)

A．15 430 cm  B．15 430 m    C．3 086 cm   D．3 086 m

参考答案：

1.解：依题意可设甲销售辆，则乙销售辆，总利润，

则总利润，

，所以当时，(万元)．

故选：B．

 2.解：∵气枪发射子弹的速度与枪管的半径的四次方成正比，

∴设，将，代入，得，∴，∴气枪发射子弹的速度与枪管的半径的函数关系式为，

当时，，，

∴子弹发射走过的路程为．

　　五、课堂小结

1．本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画．

（1）认真读题，仔细审题．

（2）引进数学符号，建立数学模型．

（3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题．

2．应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题．

六、布置作业

教材第页练习第1题．