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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第8章 二、建立函数模型解决实际问题实例
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    数学必修 第一册3 数学建模活动的主要过程公开课教案设计

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    这是一份数学必修 第一册3 数学建模活动的主要过程公开课教案设计,共8页。教案主要包含了建立函数模型解决实际问题实例等内容,欢迎下载使用。

    二、建立函数模型解决实际问题实例





    建立函数模型解决实际问题


    【例1】 据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km).


    (1)当t=4时,求s的值;


    (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;


    (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.





    [思路点拨] (1)由图求出直线OA的方程,把t=4代入可得s的值;


    (2)由图分析可知s是关于t的分段函数,分三段求出即可;


    (3)利用(2)中所得的函数的值域求解.


    [解] (1)由图象可知,直线OA的方程是v=3t,直线BC的方程是v=-2t+70.


    当t=4时,v=12,所以s= eq \f(1,2)×4×12=24.


    (2)当0≤t≤10时,s= eq \f(1,2)×t×3t= eq \f(3,2)t2;


    当10

    当20

    综上可知,s随t变化的规律是


    s= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)t2,t∈[0,10],,30t-150,t∈(10,20],,-t2+70t-550,t∈(20,35].))


    (3)当t∈[0,10]时,smax= eq \f(3,2)×102=150<650,


    当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,


    当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,


    解得t=30或t=40(舍去),


    即在台风发生30小时后将侵袭到N城.





    1.解函数应用题的一般步骤


    第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;


    第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;


    第三步:解模——求解数学模型,得到数学结论;


    第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;


    第五步:反思——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.


    2.把实际问题数学模型化一定要过好三关


    (1)事理关:通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破口;


    (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系;


    (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相应的数学模型.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万美元,且R(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400-6x,040.))


    (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式;


    (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.


    [解] (1)当0

    当x>40时,W=xR(x)-(16x+40)=- eq \f(40 000,x)-16x+7 360.


    所以W= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-6x2+384x-40,040.))


    (2)①当0

    所以Wmax=W(32)=6 104;


    ②当x>40时,W=- eq \f(40 000,x)-16x+7 360,


    由于 eq \f(40 000,x)+16x≥2 eq \r(\f(40 000,x)×16x)=1 600,


    当且仅当 eq \f(40 000,x)=16x,即x=50∈(40,+∞)时,取等号,


    所以W取最大值为5 760.


    综合①②知,当x=32时,W取得最大值6 104万元.


    【例2】 [发现问题、提出问题]


    作为日常必需品之一的天然气是清洁能源,很多家庭的一日三餐都要用天然气来做,但由于我国的天然气大部分依靠进口,时常出现供应紧张的局面,节约用气刻不容缓,为了研究燃气灶在何种情况下最省气,某学校数学建模小组通过实验得到了如下数据:


    燃气旋钮在不同位置的烧开一壶水所需燃气量


    [分析问题、建立模型]


    用表内数据,在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点.


    由图可以看出,5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大,燃气用量有一个从大到小又从小到大的过程.在我们学习过的函数图象中,二次函数的图象与之最接近,可以用二次函数近似地表示这种变化.





    [确定参数、计算求解]


    设函数式为y=ax2+bx+c,取三对数据即可求出表达式的系数,不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172),得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(182a+18b+c=0.130,,362a+36b+c=0.122,,902a+90b+c=0.172.))


    解得a=1.903 3×10-5,b=-1.472 2×10-3,c=1.503 3×10-1.


    则函数式为y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503 3×10-1.


    求燃气用量最少时的旋钮位置,实际上是求函数


    y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503 3×10-1的最小值点x0.


    x0=- eq \f(b,2a)=- eq \f(-1.472 2×10-3,2×1.903 3×10-5)≈39°.


    即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39°的位置,这时的用气量大约是


    y0= eq \f(4ac-b2,4a)


    = eq \f(4×1.903 3×10-5×1.503 3×10-1-(-1.472 2×10-3)2,4×1.903 3×10-5)


    ≈0.121 8(m3).


    [验证结果、改进模型]


    对于上一个步骤中得到的用气量的函数模型


    y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503 3×10-1能够很好地反映用气量y与旋钮位置x的关系吗?试选择一个数据进行验证.


    当x=54时,由函数的解析式可得y≈0.126 3(m3),和实验所得数据相比的差为0.139-0.126 3=0.012 7,数值很小,说明该函数模型可以很好地反映用气量y与旋钮位置x的关系.





    建立函数模型解决问题的框图表示








    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.房屋造价(元/m2)与建筑层数有关,可表示为一般造价(元/m2)乘上层数系数λ.根据经验数据,绘出层数系数λ与层数n的关系,如图所示,其中2层到5层的建筑由于共用地基和层顶等原因,λ随层数增加沿抛物线下降,而5层~8层及以上的建筑则由于防震、防风等因素需增加成本,λ随层数增加而增加.





    (1)请根据所给图与表格建立λ随层数n增加而改变的函数关系式,并将表中数据填完整;


    (2)某单位为建造楼房筹集资金100万元,用于支付房屋造价和土地使用权购置费,若一般造价为800元/m2,土地价为300元/亩 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1亩=\f(2 000,3)m2)),试利用(1)中的条件求该单位最多能建房多少平方米.(精确到1 m2)


    [解] (1)由题设知,当2≤n≤5时,λ=f(n)的图象为抛物线的一段,所以设λ=an2+bn+c,


    将(2,1.08),(3,1.03),(4,1)代入,得:


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.08=4a+2b+c,,1.03=9a+3b+c,,1=16a+4b+c,))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=0.01,,b=-0.1,,c=1.24.))


    所以λ=0.01n2-0.1n+1.24.


    当5<n≤8时,观察图形,三点似乎在同一条直线上,


    所以设λ=kn+b,将(6,1.08)和(8,1.26)代入,


    得: eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.08=6k+b,,1.26=8k+b,))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=0.09,,b=0.54,))


    所以λ=0.09n+0.54,


    通过验证知(7,1.17)正好在此直线上.


    故所求函数λ= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.01n2-0.1n+1.24(2≤n≤5),,0.09n+0.54(5<n≤8).))


    把n=5代入上式,得λ=0.99.


    又由图可得n=1时,λ=1.25.


    将1.25,0.99填入表中的对应格里即可(表略).


    (2)设所建楼房占地面积为x m2,


    由(1)知当n=5时,造价最低,此时λ=0.99,


    故总建房面积为5x m2,


    其总造价为0.99×800×5x+ eq \f(x,\f(2 000,3))×300,


    依题意得1 000 000=0.99×800×5x+ eq \f(9,20)x,


    解得5x≈1 262,即该单位最多可建房1 262 m2.





    利用已有函数模型解决实际问题


    【例3】 汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.试判断甲、乙两车有无超速现象,并根据所学数学知识给出判断的依据.


    [思路点拨] 根据已经给出的刹车距离与车速的函数关系,由刹车距离建立不等式,求出两辆车的车速范围,然后进行判断.


    [解] 依题意,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1 200>0,


    解得x>30或x<-40(不合实际意义,舍去),


    这说明,甲车的速度超过30 km/h.


    但根据题意,刹车距离略超过12 m,由此估计甲车速度不会超过限速40 km/h.


    对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2 000>0,


    解得x>40或x<-50(不合实际意义,舍去),


    这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.





    求解所给函数模型解决实际问题的关注点


    (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.


    (2)根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数.


    (3)利用该模型求解实际问题.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.某地上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55~0.75元/千瓦时,经测算,若电价调至x元/千瓦时,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.


    (1)求y与x之间的函数关系式;


    (2)若每千瓦时电的成本价为0.3元/千瓦时,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]


    [解] (1)∵y与(x-0.4)成反比例,∴设y= eq \f(k,x-0.4)(k≠0).


    把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8= eq \f(k,0.65-0.4),


    解得k=0.2.∴y= eq \f(0.2,x-0.4)= eq \f(1,5x-2).


    即y与x之间的函数关系式为y= eq \f(1,5x-2).


    (2)依题意,得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,5x-2)))(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%).


    整理,得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6.


    经检验x1=0.5,x2=0.6都是方程的根.


    又∵0.55≤x≤0.75,∴x=0.6.


    即当电价调至0.6元/千瓦时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.


    项目


    位置
    燃气表开始时读数/m3
    燃气表水开时读数/m3
    所用燃气量/m3
    18°
    9.080
    9.210
    0.130
    36°
    8.958
    9.080
    0.122
    54°
    8.819
    8.958
    0.139
    72°
    0.670
    8.819
    0.149
    90°
    8.498
    8.670
    0.172
    n
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    λ
    1.08
    1.03
    1
    1.08
    1.17
    1.26
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