高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性优质教学设计

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§1 方程解的存在性及方程的近似解


1.1 利用函数性质判定方程解的存在性














1．函数的零点概念


(1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．


(2)方程、函数、图象之间的关系：


函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是方程f(x)＝0的解．


2．零点存在定理


若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.


思考：(1)函数的“零点”是一个点吗？


提示：不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．


(2)若f(a)·f(b)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？


提示：不一定．如y＝x2－1在区间(－2，2)上有两个零点，但f(2)·f(－2)>0.





1．若4是函数f(x)＝ax2－2lg2x的零点，则a的值等于( )


A．4 B．－4 C．－ eq \f(1,4) D． eq \f(1,4)


D [因为4是函数f(x)＝ax2－2lg2x的零点，所以a×42－2lg24＝0，解得a＝ eq \f(1,4).]


2．对于函数y＝f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )


A．方程f(x)＝0一定有实数解


B．方程f(x)＝0一定无实数解


C．方程f(x)＝0一定有两实数解


D．方程f(x)＝0可能无实数解


D [∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解．]


3．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．


0和5 [令x2－5x＝0，解得x1＝0或x2＝5，所以函数f(x)＝x2－5x的零点是0和5.]








求函数的零点


【例1】 求下列函数的零点．


(1)f(x)＝x2＋7x＋6；


(2)f(x)＝1－lg2(x＋3)；


(3)f(x)＝2x－1－3；


(4)f(x)＝ eq \f(x2＋4x－12,x－2).


[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，


得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.


(2)解方程f(x)＝1－lg2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.


(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝lg26，所以函数的零点是lg26.


(4)解方程f(x)＝ eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.





求函数零点的两种方法：


(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；


(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．


1或10 [由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，


∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.]





判断函数零点所在的区间


【例2】 已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )


A．(3，4) B．(2，3)


C．(1，2) D．(0，1)


[思路点拨] 利用零点存在定理判断．


C [∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0.∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1，2)内．]





确定函数f(x)零点所在区间的常用方法


(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．


(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．


(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )


A．(－2，－1) B．(－1，0)


C．(0，1) D．(1，2)


C [∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，


∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0，1)内有零点．]





函数零点的个数问题


[探究问题]


1．函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lg x＋x.但函数值易求，如我们可以求出f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＝lg eq \f(1,10)＋ eq \f(1,10)＝－1＋ eq \f(1,10)＝－ eq \f(9,10)，f(1)＝lg 1＋1＝1.


那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，1))内有零点吗？


提示：能．因为f(x)＝lg x＋x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，1))内是连续的，函数值从－ eq \f(9,10)变化到1，势必在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，1))内某点处的函数值为0.


2．在探究1中，只利用零点存在定理，能判断函数f(x)＝lg x＋x的零点的个数吗？要与什么指示相结合才能判断其零点的个数？


提示：只利用零点存在定理，不能判断函数f(x)＝lg x＋x的零点的个数，应再利用函数的单调性，才能判断其零点的个数．即函数f(x)＝lg x＋x在其定义域(0，＋∞)内单调递增，所以函数f(x)只有一个零点．


3．根据函数零点的概念，我们知道函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．在探究1中，我们能方便地做出函数f(x)＝lg x＋x的图象来判断其零点的个数吗？若不能，应该如何转化？


提示：函数f(x)＝lg x＋x的图象不能用手工方便地做出来，应首先令f(x)＝lg x＋x＝0，即lg x＝－x，进而转化为函数y＝lg x和 y＝－x的图象的交点的个数问题．


【例3】 判断下列函数零点的个数．


(1)f(x)＝x2－ eq \f(3,4)x＋ eq \f(5,8)；


(2)f(x)＝ln x＋x2－3.


[思路点拨] (1) eq \x(函数的零点个数)→


eq \x(对应方程根的个数)→ eq \x(解方程即可判断)


(2)法一：转化为两个函数图象交点的个数问题；


法二：利用函数零点存在定理和函数的单调性判断．


[解] (1)由f(x)＝0，即x2－ eq \f(3,4)x＋ eq \f(5,8)＝0，


得Δ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))) eq \s\up8(2)－4× eq \f(5,8)＝－ eq \f(31,16)<0，


所以方程x2－ eq \f(3,4)x＋ eq \f(5,8)＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.


(2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．


在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).





由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．


法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，


所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．





1．若本例(1)中的函数改为“f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且f(x)在区间(－1，0)和(1，2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．


[解] 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，


即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1，0)内，一个在(1，2)内，


根据图象列出不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝2＞0，,f（0）＝2m＋1<0，,f（1）＝4m＋2<0，,f（2）＝6m＋5＞0，))


解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))


∴－ eq \f(5,6)

∴实数m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)，－\f(1,2))).


2．将本例(2)中的函数改为“f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2”，试判断零点的个数．


[解] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．


故函数f(x)有且只有一个零点．


法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图．





由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，


即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．





判断函数零点个数的四种常用方法


(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．


(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．


(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．


(4)转化成两个函数图象的交点问题．











1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．


2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．


3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)函数f(x)＝x－1的零点是x＝1，而不是(1，0)．( )


(2)设f(x)＝ eq \f(1,x)，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝ eq \f(1,x)在(－1，1)内有零点．( )


(3)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )


(4)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点．( )


[提示] (1)正确．由函数零点的定义可知(1)正确．


(2)错误．由于f(x)＝ eq \f(1,x)的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论．


(3)错误．反例：f(x)＝x2－2x，区间为(－1，3)，


则f(－1)·f(3)>0.


(4)错误．反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点．


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×


2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )





A B C D


D [选项D中的函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．]


3．函数f(x)＝2x－ eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )


A．(1，＋∞) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))


B [f(1)＝2－1＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2 eq \s\up6 (\f(1,2))－2＝ eq \r(2)－2<0，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))f(1)<0，且f(x)的图象在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]


4．若 eq \f(3,2)是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，求f(x)的零点．


[解] 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝2× eq \f(9,4)－ eq \f(3,2)a＋3＝0得a＝5，则f(x)＝2x2－5x＋3，


令f(x)＝0，即2x2－5x＋3＝0，解得x1＝ eq \f(3,2)，x2＝1，所以f(x)的零点是 eq \f(3,2)和1.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系．(重点、易混点)


2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(重点)


3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(重点、难点)
1．通过对函数零点概念的学习，培养数学抽象素养．


2．通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决，培养直观想象素养．