数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性优秀教案设计

这是一份数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性优秀教案设计，共8页。

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数


4.1 函数的奇偶性











1．奇(偶)函数的定义


思考：奇(偶)函数的定义域具有什么特征？它是函数具有奇偶性什么条件？


提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．


2．奇(偶)函数的性质


(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．


(2)如果奇函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在原点有定义，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝0.





1．设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x2－x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))等于( )


A．－3 B．－1 C．1 D．3


A [∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数，当x≤0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x2－x，


∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]


2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是( )





A B C D


B [D不是函数；A，C不关于原点对称．]


3．已知一个奇函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，2，a，b))，则a＋b等于________．


－1 [根据奇函数的定义域关于原点对称，知a与b有一个等于1，一个等于－2，


所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.]


4．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x＋ eq \f(m,x)，且f(1)＝3.


(1)求m的值；


(2)判断函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的奇偶性．


[解] (1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.


(2)由(1)知，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x＋ eq \f(2,x)，x≠0，


∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝(－x)＋ eq \f(2,－x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，


∴函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为奇函数．








判断函数的奇偶性


【例1】 判断并证明下列函数的奇偶性：


(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(x3－x2,x－1)；


(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝(x＋1)(x－1)；


(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)；


(4)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3).


[思路点拨] 应先看函数定义域是否关于原点对称，再判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))的关系．


[解] (1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数．


(2)函数的定义域为R，因为函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝(－x)2－1＝x2－1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，所以函数为偶函数．


(3)函数的定义域为{－1，1}，因为对定义域内的每一个x，都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，故函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)为偶函数．又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，故函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．


(4)解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x2≥0,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋3))－3≠0)) ，得－2≤x<0，或0

因此函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是[－2，0)∪(0，2]，


则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(\r(4－x2),x).


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝ eq \f(\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))\s\up8(2)),－x)＝－ eq \f(\r(4－x2),x)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数．





1. 在本题(4)中，在定义域内化简函数，是正确求解的关键．


2．利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．


3．在判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))的关系时，有时应用定义的变通形式较方便，常见的变通形式：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝±f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))⇔f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))±f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝0⇔ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)))＝±1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))≠0)).





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数，试判断y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，y＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的奇偶性．


[解] ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＋g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－[f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]，y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数．


f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝[－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))][－g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是偶函数．


f[g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))]＝f[－g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]＝－f[g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]，y＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))是奇函数．





奇偶性的应用


角度一 奇(偶)函数图象的对称性的应用


【例2】 定义在R上的奇函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0，＋∞)上的图象如图所示．





(1)画出f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象；


(2)解不等式xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0.


[解] (1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图．





(2)xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集是(－2，0)∪(0，2).





把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．


[解] (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图所示：





(2)xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).





函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．





角度二 应用函数奇偶性求解析式


【例3】 函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数，当x>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－x＋1，求当x<0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式．


[解] 设x<0，则－x>0，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－(－x)＋1＝x＋1，


又∵函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x＋1，


∴当x<0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－x－1.





已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))上的解析式，求函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－b，－a))上的解析式的方法：


(1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b.


(2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))：根据已知条件f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))上的解析式可求得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))的解析式．


(3)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))：根据函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的奇偶性来实现函数的解析式在f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))之间的相互转化．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－x2.求y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式．


[解] 设x<0，则－x>0，因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.


因为y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是R上的奇函数，所以f(0)＝0.


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x≤0，,2x－x2，x>0.))


角度三 奇偶性求单调区间


【例4】 设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是偶函数，在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))上是减函数，试证f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－b，－a))上是增函数．


[证明] 设x1，x2是区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－b，－a))上任意两个值，且有x1

∵－b≤x1

∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))上是减函数，


∴f(－x2)＞f(－x1).


∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数，即f(－x)＝f(x)，


∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1).


∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)

∴函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－b，－a))上是增函数．





具有奇偶性的函数的单调性的特点：


(1)奇函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))和 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－b，－a))上具有相同的单调性．


(2)偶函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))和 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－b，－a))上具有相反的单调性．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．已知偶函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．


(－1，3) [∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，


又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，


∵|x－1|，2∈[0，＋∞)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0，＋∞)上单调递减．


∴|x－1|<2，即－2

∴x的取值范围为(－1，3).]








1．对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．


2．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．


3．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．


(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)若f(x)是偶函数，且f(1)＝2，则f(－1)＝2.( )


(2)存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．( )


(3)如果y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )


(4)奇函数的最大值与最小值一定互为相反数．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)× ⑷√


2．定义在R上的偶函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)

A．ab


C．|a|<|b| D．0≤ab≥0


[答案] C


3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上是减函数，则f(－5)________f(3).(填“＞”或“＜”)


＜ [∵f(x)为偶函数，∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2，6]为减函数，∴f(5)＜f(3).∴f(－5)＜f(3).]


4．已知奇函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．





(1)画出在区间[－5，0]上的图象；


(2)写出使f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0的x的取值集合．


[解] (1)如图，在[0，5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.





分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，


再用光滑曲线连接即得．


(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2，0)∪(2，5)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0.


∴使f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数奇偶性的定义．(重点)


2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点)


3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点)
1.借助奇偶性的特征的学习，培养直观想象素养．


2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养．
奇偶性
奇函数
偶函数
前提
设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是A，如果对任意的x∈A时，有－x∈A
条件
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
图象特征
关于坐标原点对称．反之亦然
关于y轴对称．反之亦然