北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性课前预习课件ppt

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§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
【素养目标】1．理解奇函数、偶函数的概念．(数学抽象)2．掌握判断某些函数奇偶性的方法．(逻辑推理)3．掌握奇偶函数的图象特征．(直观想象)4．会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性．(逻辑推理)
【学法解读】1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．
思考：(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？提示：(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称．
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
2．下列函数是偶函数的是(　　)A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x[解析]　对于A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性．
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数[解析]　f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．
[分析]　(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？[解析]　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
[归纳提升]　判断函数奇偶性的方法(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．
　　　　设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)＜0的解集．[分析]　利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)＜0的解集．
[解析]　因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．根据f(x)在[0,5]上的图象画出在[－5,0]上的图象，如图中虚线所示．由图象知不等式f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}．
[归纳提升]　已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
【对点练习】❷　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
[分析]　∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)在x＞0时的图象．
[解析]　(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
　　　　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3．试求f(x)在R上的表达式．[分析]　(1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．
[归纳提升]　利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
【对点练习】❸　已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．[解析]　设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1．∴当x∈(－∞，0)时， f(x)＝x2－x－1．
　　　　定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，求实数a的取值范围．[分析]　利用f(x)是奇函数，把f(1－a)＋f(1－3a)＜0变形为f(1－3a)＜f(a－1)，再根据单调性列出不等式(组)求解．
[归纳提升]　解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
[错因分析]　错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数．[正解]　(1)函数的定义域为(－2,2]，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为[－1,1)，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[方法点拨]　判断函数奇偶性的步骤如下：(1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．(2)①当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数．②当函数的定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)的关系：若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数．
逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)恒成立；(2)若f(x)是奇函数，定义域为M，则f(－x)＝－f(x)对任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意x∈M, f(－x)＝f(x)恒成立；(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意x∈A，有m≤f(x)≤M．解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．
2．遇到f(－x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答．
　　　　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)A．－26　　B．－18　C．－10　　D．10[分析]　只有一个条件f(－2)＝10，两个待定系数a，b，不能通过列方程组方法求出a，b．由f(－2)求f(2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f(x)的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f(2)?
[解析]　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18．∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26．
　　　　设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2．若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_______________．
2．函数f(x)＝|x|＋1是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]　f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝_____．[解析]　f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0．
5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解析]　(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．