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(新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第3章 §1 指数幂的拓展

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§1 指数幂的拓展

学 习 目 标

核 心 素 养

1理解分数指数幂的概念会进行分数指数幂与根式的互化.(重点)

2了解无理数指数幂的概念了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法.(易混点)

1.通过指数幂的拓展的学习培养逻辑推理素养.

2通过分数指数幂与根式的互化培养数学运算素养.

1根式

(1)定义:式子叫做根式这里n叫做根指数a叫做被开方数

(2)性质:(n1nN*)

a

2正分数指数幂

给定正数a正整数mn(n1mn互素)若存在唯一的正数b使得bnam则称ba次幂记作ba这就是正分数指数幂.

3分数指数幂

分数指数幂

正分数指数幂

规定:a(a0mnN*n1)

负分数指数幂

规定:a(a0mnN*n1)

0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义

思考:根式与分数指数幂有什么关系?

提示a.

1计算243等于(  )

A9    B3    C±3    D.-3

B [352432433.]

2b3n5m(mnN)b(  )

A5     B5     C5     D5

[答案] B

3用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)

(1)________(2)________

(1)a (2)a [(1)a.

(2)a.]

4若-1<x<2化简 .

[] 原式= |x2||x1|.

1<x<2x1>0x2<0

原式=2xx112x.

根式的化简与求值

【例1 化简:

(1)(xπnN*)

(2).

[] (1)xπxπ0.

n为偶数时|xπ|πx

n为奇数时xπ.

综上可知

(2).

正确区分

(1)表示an次方的n次方根表示an次方根的n次方因此从运算角度看运算顺序不同.

(2)运算结果不同

a.

1xy0则使=-2xy成立的条件可能是(  )

Ax0y0      Bx0y0

Cx0y0     Dx0y0

B [2|xy|=-2xyxy0.

xy0xy0故选B.]

2则实数a的取值范围为________

 [|2a1|12a.因为|2a1|12a2a10所以a.]

根式与分数指数幂的互化

【例2 (1)3可化为(  )

A     B

C     D

(2)可化为(  )

Aa     Ba

Ca     Da

[思路点拨] 熟练应用a是解决该类问题的关键.

(1)D (2)A [(1)3.

(2)a.]

根式与分数指数幂的互化规律

1关于式子a的两点说明

(1)根指数n即分数指数的分母;

(2)被开方数的指数m即分数指数的分子.

2通常规定a中的底数a>0.

3将下列各根式化为分数指数幂的形式:

(1)(2).

[] (1)a.

(2).

求指数幂a的值

【例3 求下列各式的值:

(1)64(2)81.

[思路点拨] 结合分数指数幂的定义即满足bnamab(mnNab>0)求解.

[] (1)64xx36424 096

1634 096

6416.

(2)81x, x4811

()4

81.

解决此类问题时根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂进而转化为正整数指数幂.

4求下列各式的值:

(1)125(2)128.

[] (1)125xx3125

53125

x5.

(2)128xx71281

()7

128.

正分数指数幂规定:a(a0mnN*n1)

负分数指数幂规定:a(a0mnN*n1)

零的分数指数幂0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义.

1思考辨析(正确的画错误的画×)

(1)2表示2相乘.  (  )

(2)a(a>0mnNn>1).  (  )

(3)a(a>0mnNn>1).  (  )

[答案] (1)× (2)× (3)

2.可化为(  )

A.a   Ba   Ca    Da

[答案] A

325(  )

A.5    B15    C25    D125

[答案] D

4. 求值:(1)8(2)25(3)(4).

[] (1)8xx38264

4364

84.

(2)25xx2251

25.

(3)()5.

(4)xx4

x>0

.

 

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