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    数学必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数一等奖教案设计

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    这是一份数学必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数一等奖教案设计,共8页。

    §4 一元二次函数与一元二次不等式


    4.1 一元二次函数











    1.一元二次函数的三种形式


    (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);


    (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);


    (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);


    思考1:如何把二次函数的一般式化成顶点式?


    提示:y=ax2+bx+c=a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2+\f(b,a)x))+c=a[x2+2× eq \f(b,2a)×x+( eq \f(b,2a))2-( eq \f(b,2a))2]+c


    =a eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(b,2a)))\s\up8(2)-\f(b2,4a2)))+c=a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(b,2a))) eq \s\up8(2)- eq \f(b2,4a)+c=a(x+ eq \f(b,2a))2+ eq \f(4ac-b2,4a)


    2.一元二次函数的图象


    二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左、右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上、下平移,而且“k正上移,k负下移”.


    思考2:(1)能否仅通过平移函数y=x2的图象得到y= eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-1)) eq \s\up8(2)的图象?


    (2)二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响?


    提示: (1)不能,平移只改变图象的位置,不改变其形状,而二者形状不同.


    (2)当a>0时,图象开口向上,a值越大,开口越小;


    当a<0时,图象开口向下,a值越大,开口越大.


    3.一元二次函数的性质





    1.二次函数y=x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的二次函数是( )


    A.y=x2+2 B.y=2x2


    C.y= eq \f(1,2)x2 D.y=x2-2


    [答案] B


    2.将二次函数的图象向下、向右各平移2个单位长度得到图象的解析式为y=-x2,则原二次函数的解析式是( )


    A.y=-(x-2)2+2 B.y=-(x+2)2+2


    C.y=-(x+2)2-2 D.y=-(x-2)2-2


    B [将函数y=-x2的图象进行逆变换,即将y=-x2的图象向左平移2个单位,可得y=-(x+2)2的图象,然后再将其向上平移2个单位可得y=-(x+2)2+2的图象,即原函数的图象.]


    3.将函数y=2(x+1)2-2向________平移________个单位,再向________平移________个单位可得到函数y=2x2的图象.


    右 1 上 2 [通过y=2x2→y=2(x+1)2-2反向分析,也可借助顶点分析.]


    4.对于二次函数y=-x2+4x+3,


    (1)指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;


    (2)说明其图象是由y=-x2的图象经过怎样的平移得来.


    [解] (1)∵y=-(x-2)2+7,∴函数图像开口向下;对称轴为直线x=2;顶点坐标为(2,7);


    (2)先将y=-x2的图象向右平移2个单位,然后再向上平移7个单位,即可得到y=-x2+4x+3的图象.








    二次函数的图象及应用


    【例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象.


    (1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x.


    并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象.


    [解] 列表:


    描点、连线即得相应函数的图象,如图所示.





    由图象可知由y=x2到y=2x2-4x的变化过程如下.


    法一:先把y=x2的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2的图象,然后把y=(x-1)2的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到y=2(x-1)2的图象,最后把y=2(x-1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x2-4x的图象.


    法二:先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后把y=(x-1)2-1的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x的图象.





    任意二次函数y=ax2+bx+c都可转化为y=a(x+h)2+k的形式,都可由y=ax2图象经过适当的平移得到,具体平移方法,如图所示:





    上述平移规律为:“h正左移,h负右移”;“k正上移,k负下移”.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.如何把y=2x2-4x的图象变换成y=x2的图象?


    [解] ∵y=2x2-4x=2(x-1)2-2,


    故可先把y=2x2-4x的图象向上平移2个单位长度得到y=2(x-1)2的图象,


    然后再把y=2(x-1)2的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x2的图象,


    最后把y=2x2的图象纵坐标变为原来的 eq \f(1,2),便可得到y=x2的图象.





    二次函数的性质及应用


    【例2】 已知二次函数y=3x2-2x-1.


    (1)求其顶点坐标;


    (2)判断其在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,0))上是增加的还是减小的;


    (3)当x取何值时,y=0.


    [思路点拨] 通过配方,将其化成顶点式来求解.


    [解] (1)配方得y=3x2-2x-1=3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,3))) eq \s\up8(2)- eq \f(4,3),


    所以其顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),-\f(4,3))).


    (2)由于该函数在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,3)))上是减小的,且 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,0))⊆ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,3))),所以该函数在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,0))上也是减小的.


    (3)y=0,即3x2-2x-1=0,解得x=1或- eq \f(1,3),


    所以,当x=1或- eq \f(1,3)时,y=0.





    二次函数的性质可以通过图象直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图象、利用数形结合的思想方法来解决问题.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.已知二次函数y=-3x2-4x+6.


    (1)求其顶点坐标;


    (2)判断其在区间(-2,-1)上是增加的还是减小的;


    (3)若当x= eq \f(a-2,3)时,y=0,则当x=- eq \f(a+2,3)时,y的值是多少?


    [解] (1)配方得y=-3x2-4x+6=-3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(2,3))) eq \s\up8(2)+ eq \f(22,3),


    所以其顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(22,3))).


    (2)由于该函数在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(2,3)))上是增加的,又(-2,-1)⊆ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(2,3))),所以该函数在区间(-2,-1)上是增加的.


    (3)由对称性知,y=0.





    求二次函数的解析式


    【例3】 已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.


    [思路点拨] 由题目中所给出的条件:最大值及顶点位置,可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.


    [解] ∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,


    ∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上,


    所以,2=x+1,∴x=1.


    ∴顶点坐标是(1,2).


    设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2(a<0),


    ∵二次函数的图象经过点(3,-1),


    ∴-1=a(3-1)2+2,解得a=- eq \f(3,4).


    ∴二次函数的解析式为y=- eq \f(3,4)(x-1)2+2.





    确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的解析式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择.二次函数的解析式可设成如下三种形式:


    ①给出三点坐标可利用一般式来求;


    ②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求;


    ③给出三点,其中两点为与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时可利用交点式来求.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.


    [解] 设该二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0).


    由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-22=a-b+c,,-8=c,,8=4a+2b+c,))


    解得 a=-2,b=12,c=-8.


    所以,所求的二次函数为y=-2x2+12x-8.








    1.确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的解析式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择.


    2.对于二次函数y=ax2+bx+c,要掌握下列数形之间的对应关系:


    (1)a的正负决定了抛物线的开口方向;a的绝对值决定了抛物线的开口大小;


    (2)顶点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(b,2a),\f(4ac-b2,4a)))决定了抛物线的位置;


    (3)判别式Δ=b2-4ac相对于0的大小决定了抛物线与x轴是否相交.


    这是我们用数形结合思想求解二次函数问题的切入点.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)y=ax2+bx+c是二次函数.( )


    (2)函数y=ax2+bx+c的图象一定与y轴相交.( )


    (3)二次函数y=2x2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向相反.


    ( )


    (4)把函数y=x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的 eq \r(2)倍,纵坐标不变,可得到函数y=2x2的图象.( )


    [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√


    2.函数y=-(x-1)2+4的图象的顶点坐标是( )


    A.(-1,4) B.(-1,-4)


    C.(1,-4) D.(1,4)


    [答案] D


    3.已知某二次函数的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0),且过点C(2,4),则该二次函数的表达式为_______.


    [答案] y=x2+x-2


    4.求二次函数y=-3x2-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.


    [解] ∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,


    ∴函数图象的开口向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标为(-1,4);


    当x=-1时,函数y取最大值y=4;


    当x<-1时,y随着x的增大而增大;


    当x>-1时,y随着x的增大而减小;


    采用描点法画图,选顶点A(-1,4),与x轴交于点B( eq \f(2\r(3)-3,3),0)和C(- eq \f(2\r(3)+3,3),0),与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象如图所示.








    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.掌握一元二次函数的图象和性质.(重点)


    2.体会用平移的方法研究一元二次函数的图象,并能迁移到对其他函数的图象的研究之中.(难点、易混点)
    1.通过一元二次函数的图象学习,培养直观想象素养.


    2.借助一元二次函数性质的应用,培养逻辑推理素养.
    解析式
    y=ax2+bx+c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))
    y=ax2+bx+c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a<0))
    图象
    定义域
    R
    值域
    eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac-b2,4a),+∞))
    eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(4ac-b2,4a)))
    最值
    ymin= eq \f(4ac-b2,4a)
    ymax= eq \f(4ac-b2,4a)
    增减性
    在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(b,2a)))上递减


    在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(b,2a),+∞))上递增
    在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(b,2a)))上递增


    在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(b,2a),+∞))上递减
    对称性
    关于直线x=- eq \f(b,2a)对称
    x
    -3
    -2
    -1
    0
    1
    2
    3
    y=x2
    9
    4
    1
    0
    1
    4
    9
    y=x2-2
    7
    2
    -1
    -2
    -1
    2
    7
    y=2x2-4x
    30
    16
    6
    0
    -2
    0
    6
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