数学必修 第一册2.1 对数的运算性质公开课教案设计

这是一份数学必修 第一册2.1 对数的运算性质公开课教案设计，共7页。

§2 对数的运算














1．对数的运算性质


若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：


(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN，


(2)lga eq \f(M,N)＝lgaM－lgaN，


(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R).


2．换底公式


若c>0且c≠1，则lgab＝ eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0).


思考：结合对数的换底公式探究lgba与lgab，lganbm与lgab之间有什么关系？


提示：lgba＝ eq \f(1,lgab)，lganbm＝ eq \f(m,n)lgab.





1．已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则 eq \f(b,a)等于( )


A． eq \f(1,100) B． eq \f(1,10) C．10 D．100


B [由已知得lg eq \f(b,a)＝lg b－lg a＝1.31－2.31＝－1，


∴ eq \f(b,a)＝10－1＝ eq \f(1,10).]


2. eq \f(lg29,lg23)＝( )


A． eq \f(1,2) B．2 C． eq \f(3,2) D． eq \f(9,2)


B [原式＝ eq \f(lg29,lg23)＝ eq \f(lg232,lg23)＝2.]


3．lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)的值是________．


1 [lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)＝lg eq \r(100)＝lg 10＝1.]


4．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：


(1)lg (xyz)；(2)lg eq \f(xy2,z)；


(3)lg eq \f(xy3,\r(z))； (4)lg eq \f(\r(x),y2z).


[解] (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.


(2)lg eq \f(xy2,z)＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.


(3)lg eq \f(xy3,\r(z))＝lg (xy3)－lg eq \r(z)＝lg x＋3lg y－ eq \f(1,2)lg z.


(4)lg eq \f(\r(x),y2z)＝lg eq \r(x)－lg (y2z)＝ eq \f(1,2)lg x－2lg y－lg z．








对数运算性质的应用


【例1】 求下列各式的值：


(1)lg2(47×25)；


(2)lg eq \r(5,100)；


(3)lg 14－2 lg eq \f(7,3)＋lg 7－lg 18；


(4)lg 5·lg 20＋(lg 2)2.


[解] (1)lg2(47×25)＝lg247＋lg225＝7lg24＋5lg22＝7×2＋5×1＝19.


(2)lg eq \r(5,100)＝lg 100 eq \s\up6(\f(1,5))＝ eq \f(1,5)lg 100＝ eq \f(1,5)×2＝ eq \f(2,5).


(3)lg 14－2lg eq \f(7,3)＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.


(4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1.


法二：原式＝(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝1.





对数式的化简与求值的思路


(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．


(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．求下列各式的值


(1)2 eq \s\up6 (4＋lg23)；(2) eq \f(1,2)lg312－lg32；(3)lg25＋2lg 2－lg22.


[解] (1)2 eq \s\up6 (4＋lg23)＝24×2lg23＝16×3＝48.


(2) eq \f(1,2)lg312－lg32＝lg3 eq \r(12)－lg32＝lg3 eq \f(\r(12),2)


＝lg3 eq \r(3)＝ eq \f(1,2) .


(3)法一：lg25＋2lg 2－lg22


＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2


＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2


＝(lg 5－lg 2)＋2lg 2


＝lg 2＋lg 5


＝lg 10


＝1.


法二：lg25＋2lg 2－lg22＝(1－lg 2)2＋2lg 2－lg22＝1－2lg 2＋lg22＋2lg 2－lg22＝1.





对数换底公式的应用











换底公式的应用技巧


(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．


(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．计算(lg43＋lg83)× eq \f(lg 2,lg 3).


[解] 原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))× eq \f(lg 2,lg 3)＝ eq \f(lg 3,2lg 2)× eq \f(lg 2,lg 3)＋ eq \f(lg 3,3lg 2)× eq \f(lg 2,lg 3)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(5,6).





带有附加条件的对数式求值


【例3】 (1)已知lg567＝a，18b＝5，计算lg568和lg5698的值；


(2)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg eq \r(45)的值．


[思路点拨] 利用条件 eq \(――――→,\s\up9(观察式子的),\s\d9(结构特征))分解待求对数的真数 eq \(―――→,\s\up9(利用运),\s\d9(算性质))结果．


[解] (1)∵lg567＝a，


∴lg568＝lg56 eq \f(56,7)＝lg5656－lg567＝1－a.


lg5698＝lg56(49×2)


＝lg56(72×2)＝lg5672＋lg562


＝2lg567＋lg568 eq \s\up6(\f(1,3))＝2lg567＋ eq \f(1,3)lg568


＝2a＋ eq \f(1,3)(1－a)＝ eq \f(1＋5a,3).


(2)lg eq \r(45)＝ eq \f(1,2)lg 45＝ eq \f(1,2)lg eq \f(90,2)


＝ eq \f(1,2)(lg 9＋lg 10－lg 2)


＝ eq \f(1,2)(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)lg 2


＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.





1．若18b＝5，18a＝9，如何求lg1845(用a，b表示)?


[解] 因为18b＝5，所以lg185＝b，18a＝9，所以lg 189＝a，所以lg1845＝lg189＋lg185＝a＋b.


2．若将本例(1)条件“lg189＝a，18b＝5”改为“lg94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？


[解] 因为9b＝5，所以lg95＝b.


所以lg3645＝ eq \f(lg945,lg936)＝ eq \f(lg9（5×9）,lg9（4×9）)＝ eq \f(lg95＋lg99,lg94＋lg99)＝ eq \f(b＋1,a＋1).





解对数综合应用问题的三种方法


(1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式．


(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．


(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．











利用对数的运算性质解决问题的一般思路：


1．把复杂的真数化简；


2．正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；


3．逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )


(2)lga(xy)＝lgax·lgay.( )


(3)lg2(－5)2＝2lg2(－5).( )


(4)由换底公式可得lgab＝ eq \f(lg（－2）b,lg（－2）a).( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×


2．2lg510＋lg50.25＝( )


A．0 B．1 C．2 D．.4


C [原式＝lg5102＋lg50.25＝lg5(102×0.25)＝lg525＝2.]


3．若lgab·lg3a＝4，则b的值为________．


81 [lgab·lg3a＝ eq \f(lg b,lg a)· eq \f(lg a,lg 3)＝ eq \f(lg b,lg 3)＝4，


所以lg b＝4lg 3＝lg 34，


所以b＝34＝81.]


4．计算下列各式的值：


(1)lg535＋2lg eq \s\up-5(\f(1,2)) eq \r(2)－lg5 eq \f(1,50)－lg514；


(2) eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2).


[解] (1)原式＝lg535＋lg550－lg514＋2lg eq \s\up-5(\f(1,2)) 2 eq \s\up6(\f(1,2))＝lg5 eq \f(35×50,14)＋lg eq \s\up-5(\f(1,2))2＝lg553－1＝2.


(2) eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg1.2)＝ eq \f(lg 3＋lg 22－1,lg 1.2)＝ eq \f(lg 12－1,lg 1.2)＝ eq \f(lg\f(12,10),lg1.2)＝ eq \f(lg1.2,lg1.2)＝1.学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数的运算性质．(重点)


2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进行化简、求值．(难点)
1．通过对数的运算性质的应用，培养数学运算素养．


2．通过对数的运算性质及换底公式的推导的，培养逻辑推理素养．