高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.1 三角函数的定义精品课时作业

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.1 三角函数的定义精品课时作业，共8页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(5π,6)，cs\f(5π,6)))，则角α的最小正值为( )


A．eq \f(5π,6) B．eq \f(2π,3)


C．eq \f(11π,6) D．eq \f(5π,3)


D [因为sin eq \f(5π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，cs eq \f(5π,6)


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，


所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(5π,6)，cs\f(5π,6)))在第四象限．又因为tan α＝eq \f(cs\f(5π,6),sin\f(5π,6))＝－eq \r(3)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＝tan eq \f(5π,3)，所以角α的最小正值为eq \f(5π,3).故选D．]


2.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sin α,\r(1－sin2α))＋eq \f(\r(1－cs2α),cs α)的值等于( )


A．2 B．－2


C．－2或2 D．0


D [∵角α的终边落在直线x＋y＝0上，∴角α为第二或第四象限角．


∵eq \f(sin α,\r(1－sin2α))＋eq \f(\r(1－cs2α),cs α)＝eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)，


∴当角α为第二象限角时，原式＝－eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(sin α,cs α)＝0；


当角α为第四象限角时，原式＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(－sin α,cs α)＝0.


综上可知，原式＝0，故选D．]


3.已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为( )


A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(1,3)


C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(1,3)


C [∵已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，


∴1＋2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，∴2sin θcs θ＝eq \f(7,9)，


故sin θ－cs θ＝－eq \r(sin θ－csθ2)


＝－eq \r(1－2sin θ·cs θ)＝－eq \f(\r(2),3)，故选C．]


4．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移eq \f(π,3) 个单位，得到的图像对应的解析式为( )


A．y＝sineq \f(1,2) x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,2)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


C [将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为eq \f(1,2) x，即可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，然后将其图像向左平移eq \f(π,3) 个单位，即将x变为x＋eq \f(π,3).


∴y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))).]


5．函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f(x)等于( )





A．eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) B．eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


C．eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3))) D．eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))


A [由图像知A＝eq \r(2)，∵eq \f(5π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝eq \f(3T,4)，


∴T＝π，∴ω＝2.∵2×eq \f(5π,12)＋θ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，


∴可取θ＝－eq \f(π,3)，∴f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).]


6．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，且在这个区间上的最大值是eq \r(3)，那么ω等于( )


A．eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)


C．2 D．4


B [由函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，且在这个区间上的最大值是eq \r(3)，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2sin eq \f(π,4)ω＝eq \r(3)，代入选项检验可得ω＝eq \f(4,3)，所以选B．]


二、填空题


7．已知函数y＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝1和y＝2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是________．


m＝n [∵两条直线所截得的线段长都为y＝tan ωx(ω>0)的最小正周期，∴m＝n＝eq \f(π,ω).]


8．设x∈(0，π)，则f(x)＝cs2x＋sin x的最大值是________．


eq \f(5,4) [∵f(x)＝cs2x＋sin x


＝－sin2x＋sin x＋1


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)，


又x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，


∴当sin x＝eq \f(1,2)时，


f(x)的最大值是eq \f(5,4).]


9．函数y＝f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φA>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图像如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值等于________．





2eq \r(,2)＋2 [由图知A＝2，ω＝eq \f(π,4)，φ＝0，


∴f(x)＝2sineq \f(π,4)x，


∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，


又f(x)周期为8，


∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)


＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2eq \r(2)＋2.]


三、解答题


10．已知函数f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，x∈R.


(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；


(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,2)))上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．


[解](1)因为f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，


所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.


由－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，


得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z)，


故函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)．


(2)因为f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,8)))上为增函数，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(π,2)))上为减函数，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝eq \r(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝－eq \r(2)cs eq \f(π,4)＝－1，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,2)))上的最大值为eq \r(2)，此时x＝eq \f(π,8)；最小值为－1，此时x＝eq \f(π,2).


[等级过关练]


1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图像如图所示，则函数的解析式为( )





A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))


B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))或y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4)))


C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4)))


D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))


C [由图像可知A＝2，因为eq \f(π,8)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝eq \f(π,4) ，


所以T＝π，ω＝2.


当x＝－eq \f(π,8) 时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)×2＋φ))＝2，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,4)))＝1，又|φ|<π，


解得φ＝eq \f(3π,4).故函数的解析式y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4))).]


2.函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－a，那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))等于( )


A．a B．2a


C．3a D．4a


A [由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，得f(x＋1)


＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)－\f(1,2)))＝f(x)，


即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，


则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝a.]


3.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，则f(x)的最小正周期为________．


π [由f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))知，f(x)有对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))知，f(x)有对称轴x＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2π,3)))＝eq \f(7π,12)，记T为最小正周期，则eq \f(T,2)≥eq \f(π,2)－eq \f(π,6)⇒T≥eq \f(2π,3)，从而eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，故T＝π.]


4．给出下列6种图像变换方法：① 图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2) ；② 图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③ 图像向右平移eq \f(π,3) 个单位；④ 图像向左平移eq \f(π,3) 个单位；⑤ 图像向右平移eq \f(2π,3) 个单位；⑥ 图像向左平移eq \f(2π,3) 个单位．请用上述变换将函数y＝sin x的图像变换到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图像，那么正确的标号是________(要求按先后顺序填上你认为正确的标号即可)．


②⑥ 或④② [实现函数y＝sin x到函数y＝sineq \f(x,2)＋eq \f(π,3)的图像变换有两种方式：


(1)先周期变换后相位变换，将函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sineq \f(1,2) x的图像；再将图像向左平移eq \f(2π,3) 个单位，得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图像．


(2)先相位变换后周期变换，将函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,3)个单位，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图像；再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图像．]


5．如图，函数y＝2cs(ωx＋θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R，ω＞0，0≤θ≤\f(π,2)))的部分图像与y轴交于点(0，eq \r(3))，且该函数的最小正周期为π.





(1)求θ和ω的值；


(2)已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝eq \f(\r(3),2) ，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，求x0的值．


[解](1)把(0，eq \r(3))代入y＝2cs(ωx＋θ)中，


得cs θ＝eq \f(\r(3),2).


∵0≤θ≤eq \f(π,2) ，∴θ＝eq \f(π,6).


∵T＝π，且ω>0，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.


(2)∵点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝eq \f(\r(3),2) ，


∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0－\f(π,2)，\r(,3))).


∵点P在y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像上，且eq \f(π,2)≤x0≤π，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x0－\f(5π,6)))＝eq \f(\r(3),2) ，且eq \f(7π,6)≤4x0－eq \f(5π,6)≤eq \f(19π,6).


∴4x0－eq \f(5π,6)＝eq \f(11π,6) 或4x0－eq \f(5π,6)＝eq \f(13π,6).


∴x0＝eq \f(2π,3) 或x0＝eq \f(3π,4).