人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修精品练习

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修精品练习，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像不相交的一条直线是( )


A．x＝eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,2)


C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,8)


D [当x＝eq \f(π,8) 时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2) ，而eq \f(π,2) 的正切值不存在，所以直线x＝eq \f(π,8) 与函数的图像不相交．]


2.在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像交点的个数为( )


A．1 B．2


C．3 D．4





C [在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图像(如图所示)，可以看到在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))内二者有三个交点．]


3.已知函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))内是增函数，则( )


A．0＜ω≤2 B．－2≤ω＜0


C．ω≥2 D．ω≤－2


A [根据函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))内是增函数，可得eq \f(π,4)ω≤eq \f(π,2)，


求得ω≤2，再结合ω＞0，故选A．]


4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值是( )


A．0 B．1


C．－1 D．eq \f(π,4)


A [由题意，得T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，∴ω＝4.


∴f(x)＝tan 4x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝tan π＝0.]


5．下列关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是( )


A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增


B．最小正周期是π


C．图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))成中心对称


D．图像关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称


B [令kπ－eq \f(π,2)

6．已知a，b是不等于1的正数，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，若atan θ＞btan θ＞1，则下列关系式成立的是( )


A．a＞b＞1 B．a＜b＜1


C．b＜a＜1 D．b＞a＞1


B [∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，∴－tan θ＞0.


由atan θ＞btan θ＞1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(－tan θ)＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))eq \s\up12(－tan θ)＞1，


知eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)＞1，∴a＜b＜1.]


二、填空题


7．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相邻两支的交点的距离为________．


eq \f(π,ω) [直线y＝a与函数y＝tan ωx的图像相邻两支的交点的距离正好是一个周期．]


8．已知函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是单调减函数，则ω的取值范围是________．


[－1,0) [函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝π，即eq \f(π,|ω|)≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.]


9．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．


[－4,4] [∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，


∴－1≤tan x≤1.


令tan x＝t，则t∈[－1,1]．


∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.


∴当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，y的最小值为－4，


当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，y最大值为4.


故所求函数的值域为[－4,4]．]


三、解答题


10．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．


[解] y＝tan x＋|tan x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2tan x，tan x≥0，,0，tan x<0.))


其图像如图所示，





由图像可知，其定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；


最小正周期T＝π.


[等级过关练]


1.函数y＝eq \r(lgeq \s\d3(\f(1,2))tan x) 的定义域是( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))


B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ

C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ

D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)

C [要使函数有意义，只需lgeq \s\d3(\f(1,2))tan x≥0，即0

2.函数y＝cs x|tan x|，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的大致图像是( )





A B C D


C [当－eq \f(π,2)

3.函数f(x)＝lg eq \f(tan x＋1,tan x－1)为________函数(填“ 奇” 或“ 偶”)．


奇 [由eq \f(tan x＋1,tan x－1)>0，


得tan x>1或tan x<－1.


∴函数定义域为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ－\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)关于原点对称．


f(－x)＋f(x)＝lg eq \f(tan－x＋1,tan－x－1)＋lg eq \f(tan x＋1,tan x－1)


＝lgeq \f(－tan x＋1tan x＋1,－tan x－1tan x－1)＝lg 1＝0.


∴f(－x)＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数．]


4．若直线x＝eq \f(kπ,2)(|k|≤1)与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像不相交，则k＝________.


eq \f(1,4) 或－eq \f(3,4) [直线x＝eq \f(π,2)＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图像不相交，由题意可知，2×eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋eq \f(1,4) ，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝eq \f(1,4) 或k＝－eq \f(3,4).]


5．已知－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4) ，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．


[解] ∵－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4) ，


∴－eq \r(3)≤tan x≤1，


f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，


当tan x＝－1即x＝－eq \f(π,4) 时，f(x)有最小值为1，


当tan x＝1即x＝eq \f(π,4) 时，f(x)有最大值为5.