人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试精品当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试精品当堂检测题，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3eq \r(5)，则b等于( )


A．(－3,6) B．(3，－6)


C．(6，－3)D．(－6,3)


A [设b＝ka＝(k，－2k)，k＜0，而|b|＝3eq \r(5)，则eq \r(5k2)＝3eq \r(5)，k＝－3，b＝(－3,6)．]


2.若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)


B [∵a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0, ∴a2＝b2，|a|＝|b|，


又∵cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)a2,|a|2)＝eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(π,3).]


3.函数f(x)＝cs 2x＋2sin x的最小值和最大值分别为( )


A．－3,1 B．－2,2


C．－3，eq \f(3,2) D．－2，eq \f(3,2)


C [f(x)＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,2)，sin x∈[－1,1]，


∴f(x)max＝eq \f(3,2)， f(x)min＝－3.]


4．平面直角坐标系中， O为坐标原点， 已知两点A(3,1)，B(－1,3), 若点C满足eq \(OC,\s\up8(→))＝αeq \(OA,\s\up8(→))＋βeq \(OB,\s\up8(→))， 其中α，β∈R且α＋β＝1, 则点C的轨迹方程为( )


A．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－2)2＝5


C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0


D [设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up8(→))＝(x，y)，eq \(OC,\s\up8(→))＝αeq \(OA,\s\up8(→))＋βeq \(OB,\s\up8(→))


＝α(3,1)＋(1－α)(－1,3)＝(3α，α)＋(α－1,3－3α)


＝(4α－1,3－2α)，∴x＝4α－1，y＝3－2α，


消去α得x＋2y－5＝0.]


5．函数y＝sin xcs x＋eq \r(3)cs 2x－eq \r(3)的图像的一个对称中心为( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π，－\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π，－\f(\r(3),2)))


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)π，\f(\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，－\r(3)))


B [y＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)－eq \r(3)＝sin2x＋eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2)，令2x＋eq \f(π,3)＝kπ，(k∈Z)


x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)，当k＝2时，x＝eq \f(5π,6)，∴函数图像的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π，－\f(\r(3),2))).]


6．设向量a＝(cs 55°，sin 55°)，b＝(cs 25°，sin 25°)，若t为实数，则|a－tb|的最小值是( )


A．eq \f(1,2) B．1


C．eq \f(\r(3),2) D．1＋eq \r(3)


A [|a－tb|＝eq \r(a－tb2)＝eq \r(a2－2ta·b＋t2b2)


＝eq \r(1－2ta·b＋t2)


＝eq \r(t2－2tcs 55°cs 25°＋sin55°sin25°＋1)


＝eq \r(t2－2cs55°－25°t＋1)


＝eq \r(t2－\r(3)t＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋\f(1,4))，|a－tb|的最小值为eq \f(1,2).]


二、填空题


7．给出下列四个命题，其中正确的序号是________．


①非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°；②若(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))·(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形；③若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1；④ 若eq \(OA,\s\up8(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up8(→))＝(5－m，－3－m)，∠ ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－eq \f(3,4).


①②③ [①中，令eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b.以eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OB,\s\up8(→))为邻边作平行四边形OACB．∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，





故①正确．②中，∵(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))·(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝0，∴|eq \(AB,\s\up8(→))|2＝|eq \(AC,\s\up8(→))|2，


故△ABC为等腰三角形．故②正确．


③中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2


＝4＋4xcs 120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，


故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故③正确．


④中，∵eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－eq \f(3,4).又当eq \(BA,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))同向共线时，m＝eq \f(1,2)，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－eq \f(3,4)且m≠eq \f(1,2).故④不正确．]


8．若点P(cs α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cs 2α＝________.


－2 [由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cs 2α＝2sin αcs α＋2cs 2α－2sin2α


＝eq \f(2sin αcs α＋2cs2α－2sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α＋2－2tan2α,tan2α＋1)＝


eq \f(－4＋2－2×4,5)＝－2.]


9．若eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2 020，则eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝________.


2 020 [eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝eq \f(1,cs 2α)＋eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(1＋sin 2α,cs 2α)＝eq \f(cs α＋sinα2,cs2α－sin2α)＝eq \f(cs α＋sin α,cs α－sinα)


＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2 020.]


三、解答题


10．已知△ABC的内角B满足2cs 2B－8cs B＋5＝0，若eq \(BC,\s\up8(→))＝a，eq \(CA,\s\up8(→))＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．求sin(B＋θ)．


[解] 2(2cs2B－1)－8cs B＋5＝0,4cs2B－8cs B＋3＝0，


得cs B＝eq \f(1,2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝－eq \f(3,5)，


sin θ＝eq \f(4,5)，


sin(B＋θ)＝sin Bcs θ＋cs Bsin θ＝eq \f(4－3\r(3),10).


[等级过关练]


1.已知sin 2α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<2α<π))，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α＋β)等于( )


A．－eq \f(2,11) B．－2


C．－1 D．eq \f(2,11)


B [∵sin 2α＝eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)＜2α＜π，∴cs 2α＝－eq \f(4,5)，


∴tan 2α＝－eq \f(3,4)，


∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝eq \f(tan 2α－tanα－β,1＋tan 2αtanα－β)＝－2.


2.设0≤θ<2π，已知两个向量eq \(OP1,\s\up8(→))＝(cs θ，sin θ)，eq \(OP2,\s\up8(→))＝(2＋sin θ，2－cs θ)，则向量eq \(P1P2,\s\up8(→))长度的最大值是( )


A．eq \r(2) B．eq \r(3)


C．3eq \r(2) D．2eq \r(3)


C [∵eq \(P1P2,\s\up8(→))＝eq \(OP2,\s\up8(→))－eq \(OP1,\s\up8(→))＝(2＋sin θ－cs θ，2－cs θ－sin θ)，


∴|eq \(P1P2,\s\up8(→))|＝eq \r(2＋sin θ－cs θ2＋2－cs θ－sin θ2)＝eq \r(10－8cs θ)≤3eq \r(2).


3.函数y＝(acs x＋bsin x)cs x有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________.


1 ±2eq \r(2) [y＝acs2x＋bsin xcs x＝eq \f(b,2)sin 2x＋eq \f(a,2)·cs 2x＋eq \f(a,2)＝eq \f(\r(a2＋b2),2)sin(2x＋φ)＋eq \f(a,2)，eq \f(\r(a2＋b2),2)＋eq \f(a,2)＝2，－eq \f(\r(a2＋b2),2)＋eq \f(a,2)＝－1，a＝1，b＝±2eq \r(2).]


4．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→)))·eq \(PC,\s\up8(→))的最小值是________．





－eq \f(1,2) [因为点O是A，B的中点，所以eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→))＝2eq \(PO,\s\up8(→))，


设|eq \(PC,\s\up8(→))|＝x，则|eq \(PO,\s\up8(→))|＝1－x(0≤x≤1)．


所以(eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→)))·eq \(PC,\s\up8(→))＝2eq \(PO,\s\up8(→))·eq \(PC,\s\up8(→))＝－2x(1－x)


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2).


所以当x＝eq \f(1,2)时，(eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→)))·eq \(PC,\s\up8(→))取到最小值－eq \f(1,2).]


5．已知函数f(x)＝a(cs 2x＋sin xcs x)＋b.


(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；


(2)当a＜0且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．


[解] f(x)＝a·eq \f(1＋cs 2x,2)＋a·eq \f(1,2)sin 2x＋b


＝eq \f(\r(2)a,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(a,2)＋b.


(1)2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，(k∈Z)，kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z，


故f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.


(2)0≤x≤eq \f(π,2)，eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，－eq \f(\r(2),2)≤sin2x＋eq \f(π,4)≤1，


f(x)min＝3，f(x)max＝4，


∴a＝2－2eq \r(2)，b＝4.