高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.1 三角函数的定义优质学案

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7.2.1 三角函数的定义








1.任意角的三角函数


在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝eq \r(x2＋y2) ＞0)．


2.三角函数在各象限的符号





思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？


[提示] 对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．





1.已知角α终边经过Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α等于( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3),3) D．±eq \f(1,2)


B [由三角函数定义可知，设x＝eq \f(\r(,3),2)，y＝eq \f(1,2)，则r＝eq \r(,x2＋y2)＝1，故cs α＝eq \f(\r(3),2).]


2.若三角形的两内角α，β满足sin αcs β<0，则此三角形必为( )


A．锐角三角形 B．钝角三角形


C．直角三角形 D．以上三种情况都可能


B [∵sin αcs β<0，α，β∈(0，π)，


∴sin α>0，cs β<0，∴β为钝角．]


3.若角α的终边上有一点P(3,4)，则sin α＋cs α＝________.


eq \f(7,5) [由三角函数定义知，sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，


∴sin α＋cs α＝eq \f(7,5).]


4．已知cs θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．


第三或第四 [∵cs θ·tan θ<0，∴cs θ，tan θ异号．


故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．]





【例1】(1)若sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，则在角α终边上的点有( )


A．(－4,3) B．(3，－4)


C．(4，－3)D．(－3,4)


(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cs α＝________.


[思路探究](1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．


(2)分a＞0，a＜0两种情况分别求解．


(1)A(2)1或－1 [(1)由sin α，cs α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A．


(2)因为r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，


①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．


sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，


所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.


②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，


sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，


所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.]





由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：


(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：


由α的终边上一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．


(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．








1.设函数f(θ)＝eq \r(3)sin θ＋cs θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，求f(θ)的值．


[解] 由点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))和三角函数定义得sin θ＝eq \f(\r(3),2)，cs θ＝eq \f(1,2)，


所以f(θ)＝eq \r(3)sin θ＋cs θ＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)＝2.


【例2】 判断下列各式的符号．


(1)sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°；


(2)tan 191°－cs 191°；


(3)sin 2cs 3tan 4.


[思路探究] 先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．


[解](1)∵2 015°＝5×360°＋215°，


2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，


∴它们都是第三象限角，


∴sin 2 015°<0，cs 2 016°<0，tan 2 017°>0，


∴sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°>0.


(2)∵191°角是第三象限角，


∴tan 191°>0，cs 191°<0，


∴tan 191°－cs 191°>0.


(3)∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4

∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，


∴sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0，


∴sin 2cs 3tan 4<0.





由三角函数的定义知sin α＝ eq \f(y,r)，cs α＝ eq \f(x,r)，tan α＝ eq \f(y,x)r＞0，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点Px，y的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.








2.判断下列式子的符号：


sin 320°·cs 385°·tan 155°·tan(－480°)．


[解] 270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－450°，


则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第三象限角，


所以sin 320°<0，cs 385°>0，tan 155°<0，tan(－480°)＞0.


所以sin 320°·cs 385°·tan 155°·tan(－480°)＞0，即符号为正．





1.对三角函数值符号的理解


三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：


(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．


(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．


(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．


2.对三角函数定义的理解


(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．


(2)要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．


(3)要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切函数值．





1.已知P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝( )


A．1 B．－5


C．－eq \f(5\r(26),26) D．eq \f(\r(26),26)


C [∵x＝1，y＝－5，


∴r＝eq \r(26)，


∴sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(5\r(26),26).]


2.sin 1·cs 2·tan 3的值是( )


A．正数B．负数


C．0D．不存在


A [∵0<1

∴sin 1>0，cs 2<0，tan 3<0，


∴sin 1·cs 2·tan 3>0.]


3.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z)))) [∵sin x＝|sin x|，


∴sin x≥0，


∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]


4．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－eq \f(12,5)，求sin α＋cs α的值．


[解] 根据三角函数的定义，tan α＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，


∴a＝－12，


∴P(5，－12)，r＝13，


∴sin α＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(5,13)，


从而sin α＋cs α＝－eq \f(7,13).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．(重点)


2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号．(难点)
1.通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养．


2.借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养.
三角函数
定义
名称
sin α
eq \f(y,r)
正弦
cs α
eq \f(x,r)
余弦
tan α
eq \f(y,x)
正切
任意角三角函数的定义及应用
三角函数符号的判断