人教B版 (2019)7.3.5 已知三角函数值求角优秀复习练习题

这是一份人教B版 (2019)7.3.5 已知三角函数值求角优秀复习练习题，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知sin x＝eq \f(\r(,3),3)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则x＝( )


A．arcsineq \f(\r(,3),3) B．eq \f(π,2)＋arcsineq \f(\r(,3),3)


C．π－arcsineq \f(\r(,3),3) D．eq \f(2π,3)


C [∵arcsineq \f(\r(,3),3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴π－arcsineq \f(\r(,3),3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴sin x＝eq \f(\r(,3),3)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，x＝π－arcsineq \f(\r(,3),3).]


2.若sin(x－π)＝－eq \f(\r(2),2)，且－2π

A．eq \f(7,4)πB．－eq \f(5,4)π


C．－eq \f(7,4)π或－eq \f(5,4)π D．eq \f(7,4)π或－eq \f(5,4)π


C [∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－eq \f(\r(2),2)，


∴sin x＝eq \f(\r(2),2)，∴x＝2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，又因－2π

3.已知cs x＝－eq \f(2,3)，x∈[0，π]，则x的值为( )


A．arccseq \f(2,3)B．π－arccseq \f(2,3)


C．－arccseq \f(2,3)D．π＋arccseq \f(2,3)


B [arccseq \f(2,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴π－arccseq \f(2,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).


∴cs x＝－eq \f(2,3)，x∈[0，π]，x＝π－arccseq \f(2,3).]


4．若cs(π－x)＝eq \f(\r(3),2)，x∈(－π，π)，则x的值为( )


A．eq \f(5π,6)，eq \f(7π,6)B．±eq \f(π,6)


C．±eq \f(5π,6)D．±eq \f(2π,3)


C [由cs(π－x)＝－cs x＝eq \f(\r(,3),2)得，cs x＝－eq \f(\r(,3),2)，又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，∴x＝±eq \f(5π,6).]


5．已知等腰三角形的顶角为arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，则底角的正切值为( )


A．eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)


C．eq \r(3)D．－eq \r(3)


A [arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(2π,3)，故底角为eq \f(π－\f(2π,3),2)＝eq \f(π,6)，∴taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3).]


6．已知tan x＝eq \r(,3)，则x＝( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,6)))))


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(2π,3))))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(2π,3)))))


A [由正切函数的性质可知，由tan x＝eq \r(,3)，得x＝kπ＋eq \f(π,3)，


即方程的根为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,3)))))，k∈Z.]


二、填空题


7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)，\f(7π,6)，\f(3π,2))) [令θ＝2x＋eq \f(π,3)，∴cs θ＝－eq \f(1,2).


当0≤θ≤π时，θ＝eq \f(2π,3)，当π≤θ≤2π，θ＝eq \f(4π,3).∴当x∈R时，θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈R，∴2x＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(2π,3)或2x＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)，


即x＝kπ＋eq \f(π,6)或x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，又x∈[0,2π]，


∴x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)，\f(7π,6)，\f(3π,2))).]


8．若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________.


eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) [∵tan x＝eq \r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，


∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，


若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)，


若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)－π＝－eq \f(2π,3)，


综上x＝eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)，


]


9．集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＝\f(1,2)))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＝－\f(\r(,3),3)))))，则A∩B＝________.


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))) [∵sin x＝eq \f(1,2)，∴x＝2kπ＋eq \f(π,6)或2kπ＋eq \f(5,6)π，k∈Z.又∵tan x＝－eq \f(\r(,3),3)，∴x＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z.∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).]


三、解答题


10．利用三角函数线求满足tan α≥eq \f(\r(3),3) 的角α的范围．


[解] 如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝eq \f(\r(3),3)，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan α≥eq \f(\r(3),3).由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥eq \f(\r(3),3) ，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥eq \f(\r(3),3) ，有k·180°＋30°≤α

[等级过关练]


1.已知sin θ＝－eq \f(1,3)且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则θ可以表示成( )


A．－arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))B．－eq \f(π,2)－arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))


C．－π＋arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))D．－π－arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))


D [由－1＜－eq \f(1,3)＜0，


∴arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))


由此可知：－arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))


－eq \f(π,2)－arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))


－π＋arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π))


它们都不能表示θ，所以应选D．]


2.设α＝arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，β＝arctaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)))，γ＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))，则α、β、γ的大小关系是( )


A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β


C．β＜α＜γ D．β＜γ＜α





3.若x＝eq \f(π,3)是方程2cs(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝______.


eq \f(4π,3) [∵2cs(x＋α)＝1，∴cs(x＋α)＝eq \f(1,2)，


又∵x＝eq \f(π,3)是方程的解．∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,2).


又∵α∈(0,2π)，∴eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,3)))∴eq \f(π,3)＋α＝eq \f(5π,3)，


∴α＝eq \f(4π,3).]


4．已知函数f(x)＝eq \r(3)cs ωx，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝eq \f(\r(6),2)，α∈[－π，π]，则α的取值集合为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)，－\f(π,8)，\f(π,8)，\f(7π,8))) [因为g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为π，


所以eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝eq \r(,3)cs 2x，


由f(α)＝eq \f(\r(,6),2)，得eq \r(,3)cs 2α＝eq \f(\r(,6),2)，即cs 2α＝eq \f(\r(,2),2)，


所以2α＝2kπ±eq \f(π,4)，k∈Z，


则α＝kπ±eq \f(π,8)，k∈Z.


因为α∈[－π，π]，所以α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)，－\f(π,8)，\f(π,8)，\f(7π,8))).]


5．已知函数f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－α)),tanα＋πsinα＋π)


(1)化简f(α)


(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)，求f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．


[解](1)函数f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,tanα＋πsinα＋π)


＝eq \f(－cs α·sin α·－tan α,tan α·－sin α)＝－cs α，


(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)，即－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－2cs α，即 sin α＝－2cs α.


再根据 sin2α＋cs2α＝1，可得cs2α＝eq \f(1,5)，


∴f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－cs α·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))


＝－sin αcs α＝2cs2α＝eq \f(2,5).