人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．设sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )


A．－eq \f(2,7) B．－eq \f(2,5) C．－eq \f(2,11) D．－eq \f(11,2)


[解析] ∵sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，∴tanα＝－eq \f(3,4).


∵tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tanβ＝－eq \f(1,2).


∴tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq \f(2,11).


[答案] C


2.eq \f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值等于( )


A．－1 B．1 C.eq \r(3) D．－eq \r(3)


[解析] 因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，


所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.


所以原式


＝eq \f(tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)


＝－eq \r(3).


[答案] D


3．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )


A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,23) C.eq \f(7,23) D.eq \f(1,6)


[解析] taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))


＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).


[答案] C


4．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为( )


A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2


[解析] ∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)


＝taneq \f(3π,4)(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，


∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.


[答案] D


5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<α

A.eq \f(π,3) B．－eq \f(2π,3)


C.eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) D．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)


[解析] 由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3eq \r(3)，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0.


∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3).


又∵－eq \f(π,2)<α

∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq \f(2π,3).


[答案] B





二、填空题


6.eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝________.


[解析] eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝－eq \f(1,tan72°－12°)＝－eq \f(\r(3),3).


[答案] －eq \f(\r(3),3)


7．tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan50°tan70°＝__________.


[解析] ∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°，∴原式＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°－eq \r(3)tan50°·tan70°＝－eq \r(3).


[答案] －eq \r(3)


8.如下图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.





[解析] 不妨设BD＝2，CD＝3，AD＝6，则tan∠ABD＝3，tan∠ACD＝2，又∵∠BAC＝∠ABD－∠ACD，∴tan∠BAC＝eq \f(tan∠ABD－tan∠ACD,1＋tan∠ABD·tan∠ACD)＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).


[答案] eq \f(1,7)


三、解答题


9．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝2eq \r(2)，求：


(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；


(2)tan(α＋β)的值．


[解] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))＝eq \f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)×2\r(2))＝－eq \r(2).


(2)tan(α＋β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋\f(π,4)))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(－\r(2)＋1,1＋\r(2)×1)＝2eq \r(2)－3.


10．已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．


[解] tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq \f(1,3)，


又α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).


tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]


＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1，


而tanβ＝－eq \f(1,7)，β∈(0，π)，所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


所以2α－β∈(－π，0)，2α－β＝－eq \f(3π,4).


综合运用


11．已知tanα和taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )


A．b＝a＋c B．2b＝a＋c


C．c＝a＋b D．c＝ab


[解析] 由根与系数的关系得：


tanα＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(b,a)，tanαtaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(c,a).


taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝eq \f(tanα＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),1－tanαtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))


＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，得c＝a＋b.


[答案] C


12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为( )


A．222 B．223 C．224 D．225


[解析] ∵(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°


＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°tan44°)＋tan1°·tan44°


＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2，


同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)


＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2


又1＋tan45°＝2


∴原式＝223.故选B.


[答案] B


13．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．


[解析] 因为tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]


＝eq \f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq \f(3＋2,1－3×2)＝－1.


又因为α为锐角，2α∈(0，π)．所以2α＝eq \f(3,4)π，α＝eq \f(3,8)π.


[答案] eq \f(3,8)π


14．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq \f(sinα＋β,csα－β)＝________.


[解析] eq \f(sinα＋β,csα－β)＝eq \f(sinαcsβ＋csαsinβ,csαcsβ＋sinαsinβ)


＝eq \f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(3,1＋－3)＝－eq \f(3,2).


[答案] －eq \f(3,2)





15.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).





(1)求tan(α＋β)的值；


(2)求α＋2β的值．


[解] 由条件得csα＝eq \f(\r(2),10)，csβ＝eq \f(2\r(5),5).


∵α，β为锐角，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，


sinβ＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).





因此tanα＝eq \f(sinα,csα)＝7，tanβ＝eq \f(sinβ,csβ)＝eq \f(1,2).


(1)tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.


(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tanβ,1－tan2β)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(4,3)，


∴tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋tan2β,1－tanαtan2β)＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1，


又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β