数学人教A版 (2019)5.3 诱导公式精练

这是一份数学人教A版 (2019)5.3 诱导公式精练，共6页。

1．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，则tan α的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
解析：选A taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).故选A.
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2cs(π－α)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝( )
A．－4 B．4
C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
解析：选C 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2cs(π－α)，
所以－sin α＝－2cs α⇒tan α＝2，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝－eq \f(1,3).
3．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3\r(10),10)，则tan θ＝( )
A．2 B.eq \f(4,3)
C．3 D.eq \f(12,5)
解析：选A 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3\r(10),10)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(\r(10),10)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－3.
所以tan θ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)－\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－tan \f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))tan \f(π,4))＝eq \f(－3－1,1－3)＝2.故选A.
4．(2021·广东深圳高中高一月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－eq \r(3)，2)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值为( )
A．－3eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),5)
C．－eq \f(5\r(3),3) D．－eq \f(3\r(3),5)
解析：选A ∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－eq \r(3)，2)，∴tan α＝eq \f(2,－\r(3))＝－eq \f(2\r(3),3)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(tan α－tan \f(π,6),1＋tan α·tan \f(π,6))
＝eq \f(－\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)))×\f(\r(3),3))＝－3eq \r(3)，故选A.
5．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
解析：选B ∵tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C＝－tan 120°＝eq \r(3)，
∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \r(3)，
即eq \f(\f(2\r(3),3),1－tan Atan B)＝eq \r(3)，
解得tan Atan B＝eq \f(1,3).
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________．
解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α<0.因为sin α＝eq \f(3,5)，
所以cs α＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(－\f(3,4)－1,1－\f(3,4))＝－7.
答案：－7
7．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________．
解析：taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))＝eq \f(\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,7)
8．下列式子的化简结果为eq \r(3)的有________(填序号)．
①tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°；
②2(sin 35°cs 25°＋sin 55°cs 65°)；
③eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°).
解析：①tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°
＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋eq \r(3)tan 25°·tan 35°＝eq \r(3)；
②2(sin 35°cs 25°＋sin 55°cs 65°)＝2(sin 35°cs 25°＋cs 35°·sin 25°)＝2sin(35°＋25°)＝eq \r(3)；
③eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
答案：①②③
9．(2021·广东江门高一质检)已知α是第二象限角，其终边上的一点为P(x，5)，且cs α＝eq \f(x,13).
(1)求x的值；
(2)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
解：(1)由P(x，5)得cs α＝eq \f(x,\r(x2＋25))，
由cs α＝eq \f(x,13)得eq \f(x,13)＝eq \f(x,\r(x2＋25))，
解得x＝0或x＝12或x＝－12.
因为α是第二象限角，所以x<0，所以x＝－12.
(2)由(1)得cs α＝－eq \f(12,13)，sin α＝eq \f(5,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(－\f(5,12)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,12))))＝eq \f(7,17).
10．已知cs α＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，求：
(1)tan β；
(2)tan(2α－β)．
解：∵cs α＝eq \f(4,5)>0，α∈(0，π)，∴sin α>0.
∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4).
(1)tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tan（α－β）,1＋tan α·tan（α－β）)＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq \f(2,11).
(2)tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tan α＋tan（α－β）,1－tan α·tan（α－β）)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,2),1－\f(3,4)×\f(1,2))＝2.
[B级 综合运用]
11．已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,22)
C.eq \f(3,22) D.eq \f(5,18)
解析：选C 因为α＋eq \f(π,4)＝(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝
eq \f(tan（α＋β）－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tan（α＋β）tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(3,22)，故选C.
12．(2021·湖北部分重点中学月考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs(π＋α)，且tan(α＋β)＝eq \f(1,3)，则tan β的值为( )
A．－7 B．7
C．1 D．－1
解析：选B ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs(π＋α)，
∴sin α＝－2cs α，即tan α＝－2.
又∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(－2＋tan β,1＋2tan β)＝eq \f(1,3).
∴tan β＝7，故选B.
13．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．
解析：由(tan α－1)(tan β－1)＝2，
可得tan α＋tan β＋1＝tan αtan β，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1.
由α，β是锐角，可得α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
14．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α).
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tan β的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，所以tan α＝－eq \f(1,3)，
因为tan(α＋β)＝eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(tan α＋2,5－tan α)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(－\f(1,3)＋2,5＋\f(1,3))＝eq \f(5,16).
(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tan（α＋β）－tan α,1＋tan（α＋β）tan α)，
所以tan β＝eq \f(\f(5,16)＋\f(1,3),1＋\f(5,16)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(31,43).
[C级 拓展探究]
15．在△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
解：tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)＝eq \f(\r(3)－\r(3)tan Btan C,tan Btan C－1)＝－eq \r(3)，
而0°∴A＝120°.
tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)＝eq \f(tan A＋tan B,\r(3)tan A＋\r(3)tan B)＝eq \f(\r(3),3)，
而0°∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．