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    高中数学5.5 三角恒等变换第3课时课时训练

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    这是一份高中数学5.5 三角恒等变换第3课时课时训练,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    课时分层作业(四十七) 两角和与差的正切公式


    (建议用时:40分钟)





    一、选择题


    1.已知点P(1,a)在角α的终边上,taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=-eq \f(1,3),则实数a的值是( )


    A.2 B.eq \f(1,2)


    C.-2 D.-eq \f(1,2)


    C [∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(tan α+tan\f(π,4),1-tan αtan\f(π,4))


    =eq \f(tan α+1,1-tan α)=-eq \f(1,3),


    ∴tan α=-2,


    ∵点P(1,a)在角α的终边上,


    ∴tan α=eq \f(a,1)=a,


    ∴a=-2.]


    2.eq \f(\r(3)-tan 18°,1+\r(3)tan 18°)的值等于( )


    A.tan 42° B.tan 3°


    C.1 D.tan 24°


    A [∵tan 60°=eq \r(3),


    ∴原式=eq \f(tan 60°-tan 18°,1+tan 60°tan 18°)=tan(60°-18°)=tan 42°.]


    3.若tan(180°-α)=-eq \f(4,3),则tan(α+405°)等于( )


    A.eq \f(1,7) B.7


    C.-eq \f(1,7) D.-7


    D [∵tan(180°-α)=-tan α=-eq \f(4,3),∴tan α=eq \f(4,3),


    ∴tan(α+405°)=tan(α+45°)=eq \f(1+tan α,1-tan α)=eq \f(1+\f(4,3),1-\f(4,3))=-7.]


    4.已知tan(α+β)=eq \f(3,5),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(1,4),那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))等于( )


    A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,23)


    C.eq \f(7,23) D.eq \f(1,6)


    C [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α+β-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))))=eq \f(tanα+β-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4))),1+tanα+βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4))))=eq \f(\f(3,5)-\f(1,4),1+\f(3,5)×\f(1,4))=eq \f(7,23).]


    5.若tan 28°tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=( )


    A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1-m)


    C.eq \r(3)(m-1) D.eq \r(3)(m+1)


    B [由公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)可得,tan 28°+tan 32°=tan 60°(1-tan 28°tan 32°)


    =eq \r(3)(1-m).]


    二、填空题


    6.已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))=eq \f(1,2),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2)))=-eq \f(1,3),则taneq \f(α+β,2)= .


    eq \f(1,7) [taneq \f(α+β,2)=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2)))))


    =eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))+tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2))),1-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2))))


    =eq \f(\f(1,2)-\f(1,3),1+\f(1,2)×\f(1,3))=eq \f(1,7).]


    7.在△ABC中,若tan A,tan B是方程6x2-5x+1=0的两根,则角C= .


    eq \f(3π,4) [由题意得tan A+tan B=eq \f(5,6),tan Atan B=eq \f(1,6),


    ∴tan(A+B)=eq \f(tan A+tan B,1-tan Atan B)=eq \f(\f(5,6),1-\f(1,6))=1.


    又A+B+C=π,


    ∴tan C=-tan(A+B)=-1,


    ∴C=eq \f(3π,4).]


    8.化简:tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°的值等于 .


    1 [原式=tan 10°tan 20°+tan 60°(tan 20°+tan 10°)


    =tan 10°tan 20°+eq \r(3)tan(20°+10°)(1-tan 20°tan 10°)


    =tan 10°tan 20°+1-tan 20°tan 10°


    =1.]


    三、解答题


    9.已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=2,tan β=eq \f(1,2),


    (1)求tan α的值;


    (2)求eq \f(sinα+β-2sin αcs β,2sin αsin β+csα+β)的值.


    [解] (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=2,


    ∴eq \f(tan\f(π,4)+tan α,1-tan\f(π,4)tan α)=2,


    ∴eq \f(1+tan α,1-tan α)=2,解得tan α=eq \f(1,3).


    (2)原式


    =eq \f(sin αcs β+cs αsin β-2sin αcs β,2sin αsin β+cs αcs β-sin αsin β)


    =eq \f(cs αsin β-sin αcs β,cs αcs β+sin αsin β)=eq \f(sinβ-α,csβ-α)


    =tan(β-α)=eq \f(tan β-tan α,1+tan βtan α)


    =eq \f(\f(1,2)-\f(1,3),1+\f(1,2)×\f(1,3))=eq \f(1,7).


    10.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10),eq \f(2\r(5),5).





    求:(1)tan(α+β)的值;(2)α+2β的大小.


    [解] 由条件得cs α=eq \f(\r(2),10),cs β=eq \f(2\r(5),5).


    ∵α,β为锐角,


    ∴sin α=eq \r(1-cs2α)=eq \f(7\r(2),10),


    sin β=eq \r(1-cs2β)=eq \f(\r(5),5).


    因此tan α=eq \f(sin α,cs α)=7,


    tan β=eq \f(sin β,cs β)=eq \f(1,2).


    (1)tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan α·tan β)


    =eq \f(7+\f(1,2),1-7×\f(1,2))=-3.


    (2)∵tan 2β=tan(β+β)=eq \f(2tan β,1-tan2β)


    =eq \f(2×\f(1,2),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))=eq \f(4,3),


    ∴tan(α+2β)=eq \f(tan α+tan 2β,1-tan α·tan 2β)


    =eq \f(7+\f(4,3),1-7×\f(4,3))=-1.


    ∵α,β为锐角,


    ∴0<α+2β<eq \f(3π,2),


    ∴α+2β=eq \f(3π,4).





    11.若2cs α-sin α=0,则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))等于( )


    A.-eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)


    C.-3 D.3


    B [由题意知tan α=2,


    则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))=eq \f(tan α-tan\f(π,4),1+tan αtan\f(π,4))=eq \f(2-1,1+2)=eq \f(1,3).]


    12.(多选题)已知tan α=lg (10a),tan β=lgeq \f(1,a),且α+β=eq \f(π,4),则实数a的值为( )


    A.1 B.10


    C.eq \f(1,10) D.eq \f(1,100)


    AC [∵α+β=eq \f(π,4),


    ∴tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)=1,


    tan α+tan β=1-tan αtan β,


    即lg (10a)+lgeq \f(1,a)=1-lg (10a)lgeq \f(1,a),


    1=1-lg (10a)lgeq \f(1,a),


    ∴lg (10a)lgeq \f(1,a)=0,


    ∴lg (10a)=0或lgeq \f(1,a)=0,


    解得a=eq \f(1,10)或a=1.]


    13.已知eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)= .


    eq \f(4,3) [由条件知eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=eq \f(tan α+1,tan α-1)=3,


    则tan α=2.


    因为tan(α-β)=2,


    所以tan(β-α)=-2,


    故tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]


    =eq \f(tanβ-α-tan α,1+tanβ-αtan α)=eq \f(-2-2,1+-2×2)=eq \f(4,3).]


    14.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3eq \r(3),tan2B=tan A·tan C,则角B= .


    60° [由公式变形得:


    tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)


    =tan(180°-C)(1-tan Atan B)


    =-tan C(1-tan Atan B)


    =-tan C+tan Atan Btan C,


    ∴tan A+tan B+tan C


    =-tan C+tan Atan Btan C+tan C


    =tan Atan Btan C=3eq \r(3).


    ∵tan2B=tan Atan C,


    ∴tan3B=3eq \r(3),


    ∴tan B=eq \r(3),B=60°.]





    15.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=eq \f(2π,3),(2)taneq \f(α,2)tan β=2-eq \r(3)同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.


    [解] 假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=eq \f(2π,3),(2)taneq \f(α,2)tan β=2-eq \r(3)同时成立.


    由(1)得eq \f(α,2)+β=eq \f(π,3),


    所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)+β))=eq \f(tan\f(α,2)+tan β,1-tan\f(α,2)tan β)=eq \r(3).


    又taneq \f(α,2)tan β=2-eq \r(3),所以taneq \f(α,2)+tan β=3-eq \r(3),因此taneq \f(α,2),tan β可以看成是方程x2-(3-eq \r(3))x+2-eq \r(3)=0的两个根,


    解得x1=1,x2=2-eq \r(3).


    若taneq \f(α,2)=1,则α=eq \f(π,2),这与α为锐角矛盾,所以taneq \f(α,2)=2-eq \r(3),tan β=1,所以α=eq \f(π,6),β=eq \f(π,4),所以满足条件的α,β存在,且α=eq \f(π,6),β=eq \f(π,4).


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