数学5.5 三角恒等变换获奖第1课时教案

这是一份数学5.5 三角恒等变换获奖第1课时教案，共17页。

第1课时 简单的三角恒等变换








1．了解半角公式及推导过程．


2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．


3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．





1．半角公式





2.辅助角公式


asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)．(其中tanθ＝eq \f(b,a))．





判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)sin15°＝± eq \r(\f(1－cs30°,2)).( )


(2)cs15°＝ eq \r(\f(1－cs30°,2)).( )


(3)taneq \f(α,2)＝eq \f(1＋csα,sinα).( )


(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√





题型一 求值问题


【典例1】 已知sinα＝－eq \f(4,5)，π<α

[思路导引] 由α是eq \f(α,2)的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意eq \f(α,2)的范围．


[解] ∵π<α

∴csα＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)

∴sineq \f(α,2)＝ eq \r(\f(1－csα,2))＝eq \f(2\r(5),5)，


cseq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1＋csα,2))＝－eq \f(\r(5),5)，


taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－2.











解决给值求值问题的思路方法


(1)先化简已知或所求式子；


(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；


(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．





[针对训练]


1．已知sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)＝－eq \f(1,\r(5))，450°<α<540°，求taneq \f(α,2)的值．


[解] 由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2＝eq \f(1,5)，


即1－sinα＝eq \f(1,5)，得sinα＝eq \f(4,5).


∵450°<α<540°，∴csα＝－eq \f(3,5)，


∴taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))＝eq \f(1－csα,sinα)


＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),\f(4,5))＝2.


题型二 三角函数式的化简


【典例2】 化简：eq \f(1＋sinα＋csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2csα))(180°<α<360°)．


[思路导引] 利用二倍角公式将α角转化为eq \f(α,2)角，注意被开方式子的正负．


[解] 原式＝


eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2·2cs2\f(α,2)))


＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))


＝eq \f(cs\f(α,2)－csα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))).


又∵180°<α<360°，∴90°

∴原式＝eq \f(cs\f(α,2)·－csα,－cs\f(α,2))＝csα.


[变式] 若本例中式子变为：


eq \f(1－sinα－csα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2－2csα))(－π<α<0)，求化简后的式子．


[解] 原式＝


eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2·2sin2\f(α,2)))


＝eq \f(2sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))


＝eq \f(sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(α,2)－cs2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＝eq \f(－sin\f(α,2)csα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).


因为－π<α<0，所以－eq \f(π,2)

所以原式＝eq \f(－sin\f(α,2)csα,－sin\f(α,2))＝csα.











化简问题中的“3变”


(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．


(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．


(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．





[针对训练]


2．已知π<α

eq \f(1＋sinα,\r(1＋csα)－\r(1－csα))＋eq \f(1－sinα,\r(1＋csα)＋\r(1－csα)).


[解] 原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＋


eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))，


∵π<α

∴cseq \f(α,2)<0，sineq \f(α,2)>0.


∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))


＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))


＝－eq \r(2)cseq \f(α,2).


题型三 三角恒等式的证明


【典例3】 求证：eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,2tanθ)＝eq \f(1＋sin4θ＋cs4θ,1－tan2θ).


[思路导引] 注意到eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.


[证明] 要证原式，可以证明


eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,1＋sin4θ＋cs4θ)＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ).


∵左边＝eq \f(sin4θ＋1－cs4θ,sin4θ＋1＋cs4θ)


＝eq \f(2sin2θcs2θ＋2sin22θ,2sin2θcs2θ＋2cs22θ)


＝eq \f(2sin2θcs2θ＋sin2θ,2cs2θsin2θ＋cs2θ)＝tan2θ，


右边＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝tan2θ，


∴左边＝右边，∴原式得证．











证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．





[针对训练]


3．求证：eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).


[证明] 因为sin(2α＋β)－2cs(α＋β)sinα


＝sin[(α＋β)＋α]－2cs(α＋β)sinα


＝sin(α＋β)csα＋cs(α＋β)sinα－2cs(α＋β)sinα


＝sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα


＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，


两边同除以sinα得eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)＝eq \f(sinβ,sinα).




















课堂归纳小结


1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．


2．对半角公式的三点认识


(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.


(2)半角公式给出了求eq \f(α,2)的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道csα的值及相应α的条件，便可求出sineq \f(α,2)，cseq \f(α,2)，taneq \f(α,2).


(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋csα,2)求解．开方时需要注意角所在象限.














1．已知csθ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，则taneq \f(θ,2)的值为( )


A．2 B．－2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


[解析] ∵csθ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°


∴sinθ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \f(4,5)


∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(1－csθ,sinθ)＝eq \f(1＋\f(3,5),－\f(4,5))＝－2.


[答案] B


2．下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( )


A．sin15°cs15° B．cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)


C.eq \f(tan30°,1－tan230°) D. eq \r(\f(1＋cs60°,2))


[解析] 选项A中，sin15°cs15°＝eq \f(1,2)sin30°＝eq \f(1,4)；选项B中，cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)；选项C中，原式＝eq \f(1,2)×eq \f(2tan30°,1－tan230°)＝eq \f(1,2)tan60°＝eq \f(\r(3),2)；选项D中，原式＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).故选B.


[答案] B


3．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则eq \r(1－sinα)化简的结果为( )


A．sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) B．sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)


C．－sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2)


[解析] eq \r(1－sinα)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2)


＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))，


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3,4)π))，∴sineq \f(α,2)>cseq \f(α,2)


∴原式＝sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2).故选B.


[答案] B


4．已知taneq \f(θ,2)＝3，则csθ等于( )


A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(4,15) D．－eq \f(3,5)


[解析] csθ＝cs2eq \f(θ,2)－sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2))


＝eq \f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq \f(1－32,1＋32)＝－eq \f(4,5).故选B.


[答案] B


5．化简：eq \f(sin4x,1＋cs4x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx).


[解] 原式＝eq \f(2sin2xcs2x,2cs22x)·eq \f(cs2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)


＝eq \f(sin2x,1＋cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(2sinxcsx,2cs2x)·eq \f(csx,1＋csx)＝eq \f(sinx,1＋csx)＝taneq \f(x,2).


课后作业(五十二)


复习巩固


一、选择题


1．设5π<θ<6π，cseq \f(θ,2)＝a，那么sineq \f(θ,4)等于( )


A．－eq \f(\r(1＋a),2) B．－eq \f(\r(1－a),2)


C．－ eq \r(\f(1＋a,2)) D．－ eq \r(\f(1－a,2))


[解析] ∵eq \f(5π,4)

＝－eq \r(\f(1－a,2))，故选D.


[答案] D


2．若α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs2α,2))－ eq \r(\f(1－cs2α,2))等于( )


A．csα－sinα B．csα＋sinα


C．－csα＋sinα D．－csα－sinα


[解析] 原式＝ eq \r(\f(1＋2cs2α－1,2))－eq \r(\f(1－1－2sin2α,2))


＝|csα|－|sinα|


∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，∴csα>0，sinα<0，


∴原式＝csα＋sinα.


[答案] B


3．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝( )


A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,9)


[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1.


∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(π,2)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).故选A.


[答案] A


4．化简eq \f(sin4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝( )


A．sin2α B．cs2α


C．sinα D．csα


[解析] ∵4sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝4cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))


＝2cs2α，


∴原式＝eq \f(sin4α,2cs2α)＝eq \f(2sin2αcs2α,2cs2α)＝sin2α.


[答案] A


5．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))的值为( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．2 D．－2


[解析] 由csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，可得sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5).


所以eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))


＝－eq \f(1,2).


[答案] A


二、填空题


6．若tanx＝eq \r(2)，则eq \f(2cs2\f(x,2)－sinx－1,sinx＋csx)＝________.


[解析] 原式＝eq \f(csx－sinx,csx＋sinx)＝eq \f(1－tanx,1＋tanx)＝eq \f(1－\r(2),1＋\r(2))


＝eq \f(1－\r(2)2,－1)＝2eq \r(2)－3.


[答案] 2eq \r(2)－3


7.eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝__________.


[解析] 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin12°－3cs12°,cs12°),sin12°·2cs24°)


＝eq \f(\r(3)sin12°－3cs12°,sin24°cs24°)


＝eq \f(4\r(3)sin12°cs60°－cs12°sin60°,2sin24°cs24°)


＝eq \f(4\r(3)sin－48°,sin48°)＝－4eq \r(3).


[答案] －4eq \r(3)


8．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝________.


[解析] eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))


＝eq \f(sinαcs\f(π,5)＋csαsin\f(π,5),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sinα,csα)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,csα)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))


＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3.


[答案] 3


三、解答题


9．求证：eq \f(2sinxcsx,sinx＋csx－1sinx－csx＋1)＝eq \f(1＋csx,sinx).


[证明] 左边＝


eq \f(2sinxcsx,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))


＝eq \f(2sinxcsx,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))


＝eq \f(sinx,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cs\f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(1＋csx,sinx)＝右边．


∴原等式成立．


10．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，0<α<β<π，求α－β的值．


[解] 因为(sinα＋sinβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2，


(csα＋csβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2，


以上两式展开两边分别相加得2＋2cs(α－β)＝1，


所以cs(α－β)＝－eq \f(1,2)，


又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，


所以α－β＝－eq \f(2π,3).


综合运用


11．已知sinα＋csα＝eq \f(1,3)，则2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝( )


A.eq \f(8,9) B.eq \f(17,18) C．－eq \f(8,9) D．－eq \f(2,3)


[解析] sinα＋csα＝eq \f(1,3)，两边平方可得


1＋sin2α＝eq \f(1,9)，可得sin2α＝－eq \f(8,9)，


2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝－eq \f(8,9).


[答案] C


12．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ等于( )


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)


[解析] 因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，


所以2θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


故cs2θ≤0，所以cs2θ＝－eq \r(1－sin22θ)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(7),8)))2)＝－eq \f(1,8).


又cs2θ＝1－2sin2θ，


所以sin2θ＝eq \f(1－cs2θ,2)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))),2)＝eq \f(9,16).


又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq \f(3,4)，故选D.


[答案] D


13．设α为第四象限角，且eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.


[解析] ∵α为第四象限的角，∴sinα<0，csα>0


∵eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(sin2α＋α,sinα)＝eq \f(sin2αcsα＋cs2αsinα,sinα)


＝2cs2α＋cs2α＝4cs2α－1＝eq \f(13,5)


∴csα＝eq \f(3\r(10),10)，sinα＝－eq \f(\r(10),10)，tanα＝－eq \f(1,3)，


∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(3,4).


[答案] －eq \f(3,4)


14．化简tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)＝__________.


[解析] 原式＝eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin20°,cs20°)－1))


＝2eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin20°－\f(1,2)cs20°))·eq \f(1,cs20°)


＝2eq \f(cs20°,sin20°)·cs10°sin(20°－30°)·eq \f(1,cs20°)


＝2eq \f(cs10°,sin20°)·sin(－10°)＝－eq \f(2sin10°cs10°,sin20°)＝－1


[答案] －1


15．已知cs2θ＝eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，


(1)求tanθ的值．


(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值．


[解] (1)∵cs2θ＝eq \f(7,25)，∴eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(7,25)，


∴eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(7,25)，解得tanθ＝±eq \f(3,4)，


∵eq \f(π,2)<θ<π，∴tanθ＝－eq \f(3,4).


(2)eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)，


∴eq \f(π,2)<θ<π，tanθ＝－eq \f(3,4)，


∴sinθ＝eq \f(3,5)，csθ＝－eq \f(4,5)，


∴eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)＝eq \f(1－\f(4,5)＋\f(3,5),－\f(4,5)＋\f(3,5))＝－4.


降幂公式
半角公式
sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,2)
sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－csα,2))
cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋csα,2)
cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋csα,2))
tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,1＋csα)
taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－csα,1＋csα))