人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀第2课时2课时教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀第2课时2课时教案，共18页。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式








1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．


2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．


3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．





1．两角和与差的余弦公式


cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ，简记为：C(α＋β)


cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ，简记为：C(α－β)


温馨提示：(1)记忆口诀：“余余正正，符号异”；(2)α，β∈R.


2．两角和与差的正弦公式


sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ，简记为：S(α＋β)


sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ，简记为：S(α－β)


温馨提示：(1)公式中α，β∈R.记忆口诀：“正余余正，符号同”．(2)α，β∈R.





1．由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？


[答案] 可以．sin(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α＋β))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－β))＝sinαcsβ＋csαsinβ


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )


(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．( )


(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．( )


(4)把公式cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，可以得到cs(α＋β)．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√








题型一 给角求值


【典例1】 求值：(1)cs75°；


(2)eq \f(sin47°－sin17°cs30°,cs17°).


[思路导引] (1)将75°写成30°＋45°，再利用两角和的余弦公式求解；(2)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．


[解] (1)cs75°＝cs(30°＋45°)


＝cs30°cs45°－sin30°sin45°


＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).


(2)原式＝eq \f(sin17°＋30°－sin17°cs30°,cs17°)


＝eq \f(sin17°cs30°＋cs17°sin30°－sin17°cs30°,cs17°)


＝sin 30°＝eq \f(1,2).











解决给角求值问题的方法


对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式．


[针对训练]


1．求值：(1)sin14°cs16°＋sin76°cs74°；


(2)(tan10°－eq \r(3))eq \f(cs10°,sin50°).


[解] (1)原式＝sin14°cs16°＋sin(90°－14°)·cs(90°－16°)


＝sin14°cs16°＋cs14°sin16°


＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝eq \f(1,2).


(2)解法一：原式＝(tan10°－tan60°)eq \f(cs10°,sin50°)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin10°,cs10°)－\f(sin60°,cs60°)))eq \f(cs10°,sin50°)


＝eq \f(sin－50°,cs10°cs60°)·eq \f(cs10°,sin50°)＝－2.


解法二：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin10°,cs10°)－\r(3)))eq \f(cs10°,sin50°)


＝eq \f(sin10°－\r(3)cs10°,cs10°)·eq \f(cs10°,sin50°)


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin10°－\f(\r(3),2)cs10°)),sin50°)


＝eq \f(2sin10°－60°,sin50°)＝－2.


题型二 给值求值


【典例2】 已知eq \f(π,4)<α

[思路导引] 先确定eq \f(π,4)＋α及eq \f(3π,4)＋β的范围，再求出sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))和cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))的值，将α＋β用eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)＋β表示，最后代入公式求解．


[解] ∵eq \f(π,4)<α

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝eq \f(4,5).


∵0<β

∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq \f(12,13)，


∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)


＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))))＝


－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))))


＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×\f(5,13)))＝eq \f(63,65).


[变式] 若本例条件不变，求cs(α－β)的值．


[解] 由典例的解法可知，


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))＝－eq \f(12,13)，


∴sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))


＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(33,65).


又sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α－β－\f(π,2)))＝－cs(α－β)，


从而cs(α－β)＝eq \f(33,65).











给值求值问题的解题策略


在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：


(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．


(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．





[针对训练]


2．已知eq \f(π,2)<β<α

[解] ∵eq \f(π,2)<β<α

∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)，


cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5).


∴cs2α＝cs[(α＋β)＋(α－β)]


＝cs(α＋β)cs(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)


＝－eq \f(4,5)×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(33,65)，


cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]


＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)


＝－eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(63,65).


题型三 给值求角


【典例3】 设α，β为钝角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝－eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为( )


A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)


[思路导引] 由角α、β的范围及角α的正弦，可求角α的余弦，由角β的余弦，可求得角β的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意α＋β角的范围．


[解析] ∵α，β为钝角，sinα＝eq \f(\r(5),5)，


∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq \f(2\r(5),5)，


由csβ＝－eq \f(3\r(10),10)，得


sinβ＝eq \r(1－cs2β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))2)＝eq \f(\r(10),10)，


∴cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).


又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝eq \f(7π,4).故选C.


[答案] C








(1)解答此类题目的步骤为：


第一步，求角的某一个三角函数值；


第二步，确定角所在的范围；


第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．


(2)选择求角的三角函数值的方法：


若角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．





[针对训练]


3．已知：α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且cs(α－β)＝eq \f(3,5)，sinβ＝－eq \f(\r(2),10)，求角α的大小．


[解] 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以α－β∈(0，π)．


由cs(α－β)＝eq \f(3,5)，知sin(α－β)＝eq \f(4,5).


由sinβ＝－eq \f(\r(2),10)，知csβ＝eq \f(7\r(2),10).


所以sinα＝sin[(α－β)＋β]


＝sin(α－β)csβ＋cs(α－β)sinβ


＝eq \f(4,5)×eq \f(7\r(2),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),10)))＝eq \f(\r(2),2).


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＝eq \f(π,4).





题型四 辅助角公式


【典例4】 化简：(1)eq \r(2)(csx－sinx)；


(2)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx.


[思路引导] 将asinx＋bcsx化成eq \r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)形式．


[解] (1)eq \r(2)(csx－sinx)＝eq \r(2)×eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csx－\f(\r(2),2)sinx))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)csx－sin\f(π,4)sinx))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).


(2)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx


＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)csx))


＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)sinx＋cs\f(π,3)csx))


＝6eq \r(5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))).











辅助角公式及其运用


(1)公式形式：公式asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcsα)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，将形如asinα＋bcsα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．


(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．





[针对训练]


4．函数f(x)＝sinx－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的值域为( )


A．[－2,2] B．[－eq \r(3)，eq \r(3)]


C．[－1,1] D．[－eq \f(\r(3),2)，eq \f(\r(3),2)]


[解析] f(x)＝sinx－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝sinx－eq \f(\r(3),2)csx＋eq \f(1,2)sinx＝eq \f(3,2)sinx－eq \f(\r(3),2)csx＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，


所以函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，故选B.


[答案] B


课堂归纳小结


1．两角和与差公式的理解、记忆


(1)公式间的逻辑关系


eq \x(Sα＋β)←eq \x(Cα＋β)←eq \x(Cα－β)→eq \x(Sα－β)


(2)公式的结构特征和符号规律


对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号异”；


对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．


2．应用公式需注意的三点


(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．


(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．


(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cs2α，1＝sin90°，eq \f(1,2)＝cs60°，eq \f(\r(3),2)＝sin60°等，再如：0，eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(3),2)等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.








1．sin105°的值为( )


A.eq \f(\r(3)＋\r(2),2) B.eq \f(\r(2)＋1,2)


C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(2)＋\r(6),4)


[解析] sin105°＝sin(90°＋15°)＝cs15°＝cs(45°－30°)


＝cs45°cs30°＋sin45°sin30°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).


所以D选项是正确的．


[答案] D


2．sin45°cs15°＋cs225°sin15°的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)


[解析] 原式＝sin45°cs15°＋cs(180°＋45°)sin15°


＝sin45°cs15°－cs45°sin15°


＝sin(45°－15°)＝sin30°＝eq \f(1,2)


[答案] C


3．已知cs(π－α)＝eq \f(1,3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝eq \f(2,3)(其中α，β∈(0，π))，则sin(α＋β)的值为( )


A.eq \f(4\r(2)－\r(5),9) B.eq \f(4\r(2)＋\r(5),9)


C.eq \f(－4\r(2)＋\r(5),9) D.eq \f(－4\r(2)－\r(5),9)


[解析] 由cs(π－α)＝eq \f(1,3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝eq \f(2,3)，


得csα＝－eq \f(1,3)，csβ＝eq \f(2,3)，


因为α，β∈(0，π)，所以sinα＝eq \f(2\r(2),3)，sinβ＝eq \f(\r(5),3).


所以sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(2,3)－eq \f(1,3)×eq \f(\r(5),3)＝eq \f(4\r(2)－\r(5),9).故选A.


[答案] A


4．sineq \f(π,12)－eq \r(3)cseq \f(π,12)＝________.


[解析] 原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cs\f(π,12))).


解法一：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)sin\f(π,12)－sin\f(π,3)cs\f(π,12)))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)cs\f(π,3)－cs\f(π,12)sin\f(π,3)))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－eq \r(2).


解法二：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)sin\f(π,12)－cs\f(π,6)cs\f(π,12)))


＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)cs\f(π,12)－sin\f(π,6)sin\f(π,12)))


＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2cseq \f(π,4)＝－eq \r(2).


[答案] －eq \r(2)


5．当函数y＝sinx－eq \r(3)csx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.


[解析] 函数y＝sinx－eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，


当0≤x<2π时，－eq \f(π,3)≤x－eq \f(π,3)

所以当y取得最大值时，x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，所以x＝eq \f(5π,6).


[答案] eq \f(5π,6)








课后作业(四十九)


复习巩固


一、选择题


1．在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，csB＝eq \f(\r(10),10)，则sinC等于( )


A.eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)


[解析] ∵csB＝eq \f(\r(10),10)，∴B为锐角


∴sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(3\r(10),10).


又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)


＝sineq \f(π,4)csB＋cseq \f(π,4)sinB


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(8\r(5),20)＝eq \f(2\r(5),5)


[答案] A


2．计算cs(80°＋2α)cs(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为( )


A.eq \f(\r(2)－\r(6),4) B.eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D.eq \f(1,2)


[解析] 原式＝cs[(80°＋2α)－(65°＋2α)]


＝cs15°＝cs(45°－30°)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).


[答案] C


3.eq \f(1,2)sin15°－eq \f(\r(3),2)cs15°的值为( )


A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


[解析] 原式＝sin30°·sin15°－cs30°·cs15°


＝－(cs30°·cs15°－sin30°·sin15°)


＝－cs(30°＋15°)＝－cs45°＝－eq \f(\r(2),2).


[答案] B


4．已知sinα＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinβ等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(4\r(2),9)


[解析] 因为sinα＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(2\r(2),3).


sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα＝eq \f(4\r(2),9)，故选D.


[答案] D


5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq \f(4,5)eq \r(3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )


A．－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5) C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)


[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq \f(4\r(3),5)，


所以eq \f(\r(3),2)csα＋eq \f(3,2)sinα＝eq \f(4,5)eq \r(3)，


eq \r(3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)csα＋\f(\r(3),2)sinα))＝eq \f(4,5)eq \r(3)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5).


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5)，故选C.


[答案] C


二、填空题


6．形如eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a bc d))的式子叫做行列式，其运算法则为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a bc d))＝ad－bc，则行列式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3) sin\f(π,6),sin\f(π,3) cs\f(π,6)))的值是________．


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3) sin\f(π,6),sin\f(π,3) cs\f(π,6)))＝cseq \f(π,3)cseq \f(π,6)－sineq \f(π,3)sineq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝cseq \f(π,2)＝0.


[答案] 0


7．若cs(α＋β)＝eq \f(1,5)，cs(α－β)＝eq \f(3,5)，则tanα·tanβ＝_____.


[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα＋β＝\f(1,5)，csα－β＝\f(3,5)，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csαcsβ－sinαsinβ＝\f(1,5)，,csαcsβ＋sinαsinβ＝\f(3,5).))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα·csβ＝\f(2,5)，,sinα·sinβ＝\f(1,5)，))


所以tanα·tanβ＝eq \f(sinαsinβ,csαcsβ)＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)


8．A，B均为锐角，cs(A＋B)＝－eq \f(24,25)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝________.


[解析] 因为A，B均为锐角，


cs(A＋B)＝－eq \f(24,25)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，


所以0

可得sin(A＋B)＝eq \r(1－cs2A＋B)＝eq \f(7,25)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3))))


＝－eq \f(4,5)，可得


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(A＋B－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))))


＝eq \f(7,25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))×eq \f(3,5)＝eq \f(44,125).


[答案] eq \f(44,125)


三、解答题


9．已知sin(α－β)csα－cs(β－α)sinα＝eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))的值．


[解] ∵sin(α－β)csα－cs(β－α)sinα


＝sin(α－β)csα－cs(α－β)sinα


＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝eq \f(4,5)，


∴sinβ＝－eq \f(4,5)，又β是第三象限角，


∴csβ＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5).


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝sinβcseq \f(π,4)＋csβsineq \f(π,4)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)


＝－eq \f(7\r(2),10).


10．化简：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x)).


[解] 原式＝sinxcseq \f(π,3)＋csxsineq \f(π,3)＋2sinxcseq \f(π,3)－2csxsineq \f(π,3)－eq \r(3)cseq \f(2π,3)csx－eq \r(3)sineq \f(2π,3)sinx＝eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＋sinx－eq \r(3)csx＋eq \f(\r(3),2)csx－eq \f(3,2)sinx


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sinx＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))csx＝0.


综合运用


11．在△ABC中，2csBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )


A．等腰三角形 B．直角三角形


C．等腰直角三角形 D．等边三角形


[解析] ∵在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2csBsinA＝sin[π－(A＋B)]


＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB.


∴－sinAcsB＋csAsinB＝0，


即sin(B－A)＝0，∴A＝B.故选A.


[答案] A


12．若eq \r(3)sinx＋csx＝4－m，则实数m的取值范围是( )


A．2≤m≤6 B．－6≤m≤6


C．2

[解析] ∵eq \r(3)sinx＋csx＝4－m，


∴eq \f(\r(3),2)sinx＋eq \f(1,2)csx＝eq \f(4－m,2)，


∴sineq \f(π,3)sinx＋cseq \f(π,3)csx＝eq \f(4－m,2)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(4－m,2).∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))≤1，


∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4－m,2)))≤1，∴2≤m≤6.


[答案] A


13.eq \f(sin27°＋cs45°sin18°,cs27°－sin45°sin18°)＝________.


[解析] 原式＝eq \f(sin45°－18°＋cs45°sin18°,cs45°－18°－sin45°sin18°)


＝eq \f(sin45°cs18°－cs45°sin18°＋cs45°sin18°,cs45°cs18°＋sin45°sin18°－cs45°sin18°)


＝tan45°＝1.


[答案] 1


14．已知sinα－csβ＝eq \f(1,2)，csα－sinβ＝eq \f(1,3)，则sin(α＋β)＝________.


[解析] 由sinα－csβ＝eq \f(1,2)两边平方得


sin2α－2sinαcsβ＋cs2β＝eq \f(1,4)，①


由csα－sinβ＝eq \f(1,3)两边平方得


cs2α－2csαsinβ＋sin2β＝eq \f(1,9)，②


①＋②得：(sin2α＋cs2α)－2(sinαcsβ＋csαsinβ)＋(cs2β＋sin2β)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,9).


∴1－2sin(α＋β)＋1＝eq \f(13,36).∴sin(α＋β)＝eq \f(59,72).


[答案] eq \f(59,72)


15．已知csα＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


求：(1)sin(2α－β)的值；


(2)β的值．


[解] (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


又sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，所以0<α－β

所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，


sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]


＝sinαcs(α－β)＋csαsin(α－β)


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(7\r(12),10).


(2)csβ＝cs[α－(α－β)]


＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，


又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,4).