高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）公开课第1课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）公开课第1课时教案，共20页。

第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)








1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．


2．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．


3．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．





参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响


(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响





(2)ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响





(3)A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响





温馨提示：A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响


(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．


(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．


(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．





判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)由函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象得到y＝sinx的图象，必须向左平移．( )


(2)把函数y＝sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图象．( )


(3)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，便得到函数y＝Asinx的图象．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√





题型一 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象


【典例1】 用“五点法”作出函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的简图．


[思路导引] 先列表，再描点，最后连线．


[解] 函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：





描点、连线，如图所示，





利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的简图(图略)．











“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象的步骤


(1)列表．令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，依次得出相应的(x，y)值．


(2)描点．


(3)连线得函数在一个周期内的图象．


(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．





[针对训练]


1．已知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3))).


(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；





(2)写出f(x)的单调递增区间；


(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．


[解] (1)列表：


作图：





(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，


得4kπ－eq \f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z.


所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(5π,3)，4kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.


(3)当eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，


即x＝eq \f(π,3)＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.











题型二 函数图象的平移变换


【典例2】 要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )


A．向左平移eq \f(π,12)个单位 B．向右平移eq \f(π,12)个单位


C．向左平移eq \f(π,3)个单位 D．向右平移eq \f(π,3)个单位


[思路导引] 注意平移变换是就“x”而言．


[解析] 由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))＝sin4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))得，只需将y＝sin4x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位即可，故选B.


[答案] B











平移变换的策略


(1)先确定平移方向和平移的量．


(2)当x的系数是1时，若φ>0，则左移φ个单位；若φ<0，则右移|φ|个单位．


当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则左移eq \f(φ,ω)个单位；若φ<0，则右移eq \f(|φ|,ω)个单位．





[针对训练]


2．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))向左平移eq \f(π,6)个单位，可得到函数图象是( )


A．y＝sin2x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))


[解析] 将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))向左平移eq \f(π,6)个单位，得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，故选C.


[答案] C


题型三 函数图象的伸缩变换


【典例3】 已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？


[思路导引] 由y＝sinx的图象通过变换得y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：一是先伸缩后平移，二是先平移后伸缩．


[解] 解法一：步骤：①把函数y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象；


②把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；


③把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))的图象；


④再把得到的函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向上平移eq \f(5,4)个单位长度，就能得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)的图象．


解法二：步骤：①把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象；


②把函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；


③把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；


④再把得到的函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向上平移eq \f(5,4)个单位长度，就能得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)的图象．











由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤








[针对训练]


3．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈R


B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，x∈R


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈R


D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，x∈R


[解析] 把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动eq \f(π,3)个单位长度后得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．


[答案] C


4．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则( )


A．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) B．ω＝2，φ＝－eq \f(π,3)


C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,3)


[解析] 将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得解析式为y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，所以ω＝2，φ＝－eq \f(π,3).故选B.


[答案] B





课堂归纳小结


1．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：


(1)y＝sinxeq \(――――――→,\s\up17(相位变换))y＝sin(x＋φ)eq \(―――――→,\s\up17(周期变换))


y＝sin(ωx＋φ)eq \(――――――→,\s\up17(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．


(2)y＝sinxeq \(――――――→,\s\up17(周期变换))y＝sinωxeq \(――――――→,\s\up17(相位变换))


y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(―――――――→,\s\up17(振幅变换))y＝





Asin(ωx＋φ)．


注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移eq \f(|φ|,ω)个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．


2．类似地，y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝csx的图象变换得到．








1．将函数y＝csx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象的解析式是( )


A．y＝csx＋eq \f(π,3) B．y＝csx－eq \f(π,3)


C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))


[答案] D


2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )





[解析] 当x＝0时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)<0，排除B，D.当x＝eq \f(π,6)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＝sin0＝0，排除C，故选A.


[答案] A


3．为了得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋eq \f(π,5))(x∈R)的图象上所有的点的( )


A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变


B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变


C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变


D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，横坐标不变


[解析] y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))，故选B.


[答案] B


4．将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )


A．y＝cs2x B．y＝1＋cs2x


C．y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝cs2x－1


[解析] 将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))，即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cs2x.


[答案] B


5．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，所得图象对应的解析式为______________________．


[解析] 将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))的图象，再将所得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(5π,6)))的图象．


[答案] y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(5π,6)))


课后作业(五十四)


复习巩固


一、选择题


1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin(x－eq \f(π,3))的图象( )


A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度


B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度


C．向左平移eq \f(2π,3)个单位长度


D．向右平移eq \f(2π,3)个单位长度


[解析] 根据图象左、右平移的条件很容易得出答案应选A.


[答案] A


2．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))


[解析] 函数y＝sinx的图象上的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度可得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的图象，所以所求函数的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))).


[答案] C


3．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位，所得图象对应的函数是( )


A．非奇非偶函数


B．既是奇函数又是偶函数


C．奇函数


D．偶函数


[解析] y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))图象向右平移eq \f(π,8)个单位得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－cs2x的图象，y＝－cs2x是偶函数．


[答案] D


4．为了得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点( )


A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)


B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)


C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)


D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)


[解析] 先将y＝2sinx，x∈R的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图象．


[答案] C


5．设函数f(x)＝csωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )


A.eq \f(1,3) B．3 C．6 D．9


[解析] 将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))，所得图象与原图象重合，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)ω))＝csωx，则－eq \f(π,3)ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k(k∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.


[答案] C


二、填空题


6．用“五点法”画函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，则ω＝________.


[解析] 因为周期T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.


[答案] 2


7．将函数y＝sinx的图象上所有点____________________，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，再将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上所有点____________________，可得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象．


[答案] 向右平移eq \f(π,6)个单位长度 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍


8．将函数y＝eq \f(1,2)sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，则所得图象的函数解析式为________________________．


[解析] y＝eq \f(1,2)sin2xeq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标伸长为),\s\d15(原来的2倍))y＝eq \f(1,2)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))＝eq \f(1,2)


sinxeq \(―――――――――→,\s\up17(纵坐标缩短为),\s\d15(原来的\f(1,2)))y＝eq \f(1,4)sinx.即所得图象的解析式为y＝eq \f(1,4)sinx.


[答案] y＝eq \f(1,4)sinx


三、解答题


9．函数f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？


[解] 先把函数y＝sinx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－3的图象．


10．函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图象恰好关于直线x＝eq \f(π,6)对称，求φ的最小值．


[解] y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得y＝sin2(x＋φ)，由于其图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，故2×eq \f(π,6)＋2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为eq \f(π,12).


综合运用


11．为了得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))的图象，可以将函数y＝sineq \f(x,2)的图象( )


A．向左平移eq \f(π,2)个单位长度


B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度


C．向右平移eq \f(π,2)个单位长度


D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度


[解析] y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))，故选A.


[答案] A


12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移eq \f(π,2)个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )


A．4 B．6 C．8 D．12


[解析] 解法一：逐项代入检验，对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)图象向左平移eq \f(π,2)个单位得：y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋φ))＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的图象．


解法二：y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,2)后得到y＝


sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)ω＋φ))，其图象与原图象重合，有eq \f(π,2)ω＝2kπ，即ω＝4k，k∈Z，故选B.


[答案] B


13．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.


[解析] y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(2),2).


[答案] eq \f(\r(2),2)


14．某同学给出了以下论断：


①将y＝csx的图象向右平移eq \f(π,2)个单位，得到y＝sinx的图象；


②将y＝sinx的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；


③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝


sin(－x－2)的图象；


④函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象是由y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位而得到的．


其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．


[解析] ①正确；②错，y＝sinx的图象向右平移2个单位，得y＝sin(x－2)的图象；③正确；④错，应向左平移eq \f(π,6)个单位．


[答案] ①③


15．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.


(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图．


(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．


[解] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．














(2)将f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))图象上所有点向左平移eq \f(π,2)个单位长度得到f1(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－\f(π,4)))


＝3sineq \f(1,2)x的图象．


把 f1(x)＝3sineq \f(1,2)x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象，把f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(横坐标不变)得到g(x)＝sineq \f(1,4)x的图象．


所以g(x)的解析式g(x)＝sineq \f(1,4)x.


x
π
eq \f(5π,2)
4π
eq \f(11π,2)
7π
eq \f(1,3)x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))
0
eq \f(3,2)
0
－eq \f(3,2)
0
eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(2π,3)
eq \f(π,3)
eq \f(4π,3)
eq \f(7π,3)
eq \f(10π,3)
f(x)
0
2
0
－2
0
x
eq \f(π,2)
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,2)
eq \f(7π,2)
eq \f(9π,2)
eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
f(x)
0
3
0
－3
0