2020届二轮复习同角三角函数基本关系式和诱导公式（文）学案（全国通用）
展开同角三角函数基本关系式和诱导公式
【考纲要求】
1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：，掌握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、同角三角函数基本关系式
1．平方关系：.
2．商数关系：.
3．倒数关系：
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如，
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.
考点二、诱导公式
要点诠释：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：，）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
【典型例题】
类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式
例1. 已知，，求、的值．
【答案】，.
【解析】方法一：∵，∴，
∵，
∴，.
方法二：∵，∴，
由图形可以知道：，.
【总结升华】①利用公式：求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.
举一反三：
【变式1】已知，，求、.
【答案】；．
【解析】∵，∴，
∵，
∴，.
【变式2】已知，，求.
【答案】.
类型二、三角函数式的求值、化简与证明
例2.(2018 四川高考) 已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________．
【答案】－1
【解析】由已知可得tanα＝－2
故答案为：－1
【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题可用“1”代换，如.
举一反三：
【变式】(2015春 新余校级月考)已知角终边上一点，求的值.
【解析】角上终边上一点
，
.
例3.化简
【解析】（1）当时，
原式；
（2）当时，
原式.
【总结升华】当三角函数式中含有时，不能直接运用诱导公式进行变形，需对分奇偶进行讨论.
举一反三：
【变式1】化简
【答案】
【解析】原式
【变式2】化简
【答案】
【解析】原式
三角函数的概念xxxxxx 例4】
【变式3】求的值.
【答案】当为第一象限角时，值为3；当为第二、三、四象限角时，值为-1.
例4.证明
【解析】左边
右边
【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.
举一反三：
【变式】证明
【解析】分析法：要证成立，
只要证成立
只要证成立
因为上式是成立的，所以原式成立.
类型三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想
例5.已知 ，求下列各式的值：
（1） （2）
【解析】方法一：由可得，即，
（1） 原式.
（2） 原式.
方法二：由已知得，
（1） 原式.
（2） 原式.
【总结升华】
已知的条件下，求关于的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：
- 一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
- 因为，所以可以用除之，这样可以将被求式化为关于的表达式，可整体代入，从而完成被求式的求值运算.
- 注意的应用.
举一反三：
【变式】已知,则（ ）
【答案】
类型四、涉及问题----平方关系的应用
例6．已知，且．求、的值；
【答案】；
【解析】
方法一：由可得：，
即，∴
∵，
∴、是方程的两根，
∴或
∵， ∴，
∴，，
∴
方法二：由可得：，
即，∴
∵，∴，∴，∴
由
∴
【总结升华】对于这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：
；
；
.
举一反三：
【变式】已知，求的值.
【答案】
【解析】由可得：；
于是，
∴．
