专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）学案

专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

一、关键能力

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

二、教学建议

从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2022年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.

三、自主梳理 

1．熟悉三角函数的诱导公式，并完成下表（☆☆☆）

记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．

2．运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤（☆☆☆）

(1) 把求任意角的三角函数值化为求0°~360°角的三角函数值；

(2) 把求0°~360°角的三角函数值化为求0°~90°角的三角函数值；

(3) 求0°~90°角的三角函数值．

3.同角三角函数的基本关系（☆☆☆）

(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

(2) 商数关系：tanα＝．

4．常用的等价变形

sin2α＋cos2α＝1⇒

tanα＝⇒

四、高频考点+重点题型

考点一、诱导公式

例1-1（统一角：小角或已知角）

已知α是第三象限角，且f(α)＝．

(1)若cos＝，求f(α)的值；

(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．

解析：f(α)＝＝－cosα．

(1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－．

∵ α是第三象限的角，

∴ cosα＝－＝－．

∴f(α)＝－cosα＝．

(2)  f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－．

对点训练1. 设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝____.

解析：∵f(α)＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝.

例1-2（含相同变量的复合角之间关系）

已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．

解析：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，

由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，

所以sin(75°+α)=．

因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-，

所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= ．

对点训练1.已知，求的值．

解析：因为，，

所以原式=

=

=．

考点二、同角三角函数基本关系式

例2-1（知一求二）

（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若，为钝角，则的值为_____(用表示).

【答案】(亦可)

【解析】

由题知，再根据得，进而得.

【详解】

因为，为钝角，

所以，

又因为，

所以，即，

所以，

故答案为：

对点训练1.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.

对点训练2.【多选题】若，且为锐角，则下列选项中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】

，且为锐角，

，故正确，

，故正确，

，故错误，

，故错误.

故选：.

例2-2（弦切互化）

（2020·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____.

【答案】3       

【解析】

【分析】

将=2左端分子分母同除以，得，解得，

.

故答案为：；

对点训练1.（2021·河南高三其他模拟（理））若，则_______________________.

【答案】

【解析】

利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.

【详解】

因为，

所以.

故答案为：

例2-3（和差积商相互转换）

（2019·山东高三期末（理））已知，，则（   ）

A．    B．    C．或    D．或

【答案】B

【解析】

由题意知， ，①

，即，

，为钝角，，

，

，

，②

由①②解得，

，故选B.

对点训练1.（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知，且，则________．

【答案】

【解析】

已知等式平方求得，利用可解得，注意由已知条件判断出，从而得正确结论．

【详解】

因为，所以，，

又，所以，所以，即．

所以，解得．

又，，而，所以．

所以．

故答案为：．

对点训练2.（2021·全国高一专题练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

切化弦可得，将利用平方和为1转化为，代入计算可得结果.

【详解】

解：，则.

.

故选：D.

例2-4（平方与根式处理）

（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，两点，已知点A，的横坐标分别为，．

（1）求的值；

（2）化简并求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知条件可知求得，，已知式变形为，代入可得答案；

（2）由已知得， ，代入可得答案.

【详解】

解：（1）由已知条件可知：，又，所以，，，

，

（2），又，所以，从而；

.

对点训练1.（2021·河南高一期中（文））（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；

（2）计算的值．

【答案】（1）（2）1．

【解析】

（1）利用三角函数定义得到，，化简三角函数表达式代入即可得到结果；

（2）利用同角基本关系式化简即可.

【详解】

（1）由题意知，，．

原式

；

（2）原式．

巩固训练

一、单项选择题

1．若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　)

A.   B．－  C.   D．－

答案：C

解析：因为sin α＝－，且α为第三象限角，

所以cos α＝－，所以tan α＝.

2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)

A.   B．－   C.   D．－

答案：D

解析：因为tan α＝－，所以＝－，

所以cos α＝－sin α，

代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，

又α是第四象限角，所以sin α＝－.

3．已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为(　　)

A.   B.

C.   D．－

答案：B

解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝.

4．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若，，则___________.

【答案】

【解析】

根据三角函数的诱导公式，求得，结合，进而求得的值.

【详解】

由三角函数的诱导公式，可得，即，

又因为，所以.

故答案为：.

5．（2021·河北邯郸市·高三二模）当时，函数的最大值为______．

【答案】-4

【解析】

化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值.

【详解】

由题意得

所以，

当时，，

设

所以，

所以当时，函数取最大值.

所以的最大值为-4．

故答案为：

6．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)

A.   B．－   C．－2   D．2

答案：A

解析：由＝5，得＝5，

即tan α＝2.

所以sin2α－sin αcos α

＝＝＝.

二、多项选择题

7．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　 )

A．tan α＝ B．cos α＝

C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－

答案：AB

解析：∵sin α＝，且α为锐角，

∴cos α＝＝＝，故B正确，

∴tan α＝＝＝，故A正确，

∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，

∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．

8．已知，，那么的可能值为（    ）

 A.  B.  C.  D.

答案：BD

解析：因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或3．

三、填空题

9．若α是三角形的内角，且sinα+cosα=，则　　　　．

答案：

解析：注意角的限制条件．

10．已知，，那么　　　　．

答案：或3　

解析：因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或3．

11．若tan α＝2，则的值为　　　　．

答案：

解析：法一：(切化弦的思想)：因为tan α＝2，

所以 sin α＝2cos α， cos α＝sin α．

又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以解得 sin2α＝．

所以＝＝＝＝．

法二：(弦化切的思想)因为＝＝＝＝．

12．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________．

答案：0

解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α＋ sin α，

因为α是第二象限角，所以sin α＞0， cos α＜0，

所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0．

二、解答题

13．(1)求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；

(2)已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1．

解析：(1) tan2αsin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，则原等式得证．

(2) 因为tan2α=2tan2β+1，所以 +1=2，即，

从而2cos2α=cos2β，

于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证．

14．在ΔABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求ΔABC的三个内角．

解析：由已知得

①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±．

(1) 当cosA＝时，cosB＝，

又A，B是三角形的内角，

∴ A＝，B＝，

∴ C＝π－(A＋B)＝π．

(2) 当cosA＝－时，cosB＝－．

又A、B是三角形的内角，

∴ A＝π，B＝π，不合题意．

综上知，A＝，B＝，C＝π．