2021高考数学一轮复习学案：第四章4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系 

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

2．三角函数的诱导公式

概念方法微思考

1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？

提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号．

2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？

提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)

(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)

题组二　教材改编

2．若sin α＝，<α<π，则tan α＝        .

答案　－

解析　∵<α<π，

∴cos α＝－＝－，

∴tan α＝＝－.

3．已知tan α＝2，则的值为      ．

答案　3

解析　原式＝＝＝3.

4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为        ．

答案　－sin2α

解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

题组三　易错自纠

5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为        ．

答案　－

解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.

又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，

∴sin θ－cos θ＝－.

6．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝        ；cos＝        .

答案　　

解析　由sin(π＋α)＝－，得sin α＝，

则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，

cos＝cos＝cos

＝cos＝sin α＝.

同角三角函数基本关系式的应用

1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)

A．－   B.   C．－   D.

答案　C

解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，

所以cos α＝＝，

故tan α＝＝－.

2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为        ．

答案　－

解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，

将其代入sin2α＋cos2α＝1，

得cos2α＝1，

所以cos2α＝，易知cos α<0，

所以cos α＝－，sin α＝，

故sin α＋cos α＝－.

3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为        ．

答案　－3

解析　由角α的终边落在第三象限，

得sin α<0，cos α<0，

故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.

4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝        .

答案　－

解析　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，

因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，

所以sin θ－cos θ＝＝，

联立解得

所以tan θ＝－.

方法二　因为sin θ＋cos θ＝，

所以sin θcos θ＝－，

由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.

又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，

所以sin θ>0，cos θ<0.

所以sin θ＝，cos θ＝－.

所以tan θ＝＝－.

方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，

所以＝－.

齐次化切，得＝－，

即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，

解得tan θ＝－或tan θ＝－.

又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，

所以θ∈，所以tan θ＝－.

思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

诱导公式的应用

例1　(1)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝        .

答案　－

解析　因为θ是第四象限角，且sin＝，

所以θ＋为第一象限角，

所以cos＝，

所以tan＝＝

＝－＝－.

(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,2，－2}   B．{－1,1}

C．{2，－2}   D．{1，－1,0,2，－2}

答案　C

解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；

当k为奇数时，A＝－＝－2.

思维升华　(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

跟踪训练1　(1)已知sin＝，则cos等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　B

解析　因为sin＝，

所以cos＝sin

＝sin＝.

(2)(2019·扬州四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于(　　)

A.   B．－

C．－   D．－1

答案　B

解析　由sin＋3cos(α－π)＝1，

得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，

∵角α是第二象限角，∴sin α＝，

∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－.

同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

例2　(1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，

即tan2θ－tan θ－＝0，

解得tan θ＝或tan θ＝－.

又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，

故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ

＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ

＝＝

＝＝.

(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.求的值．

解　由已知，得sin x＋cos x＝，

两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，

由－π<x<0知，sin x<0，

又sin xcos x＝－<0，

∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

＝

＝

＝＝－.

本例(2)中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．

解　若0<x<π，又2sin xcos x＝－，

∴sin x>0，cos x<0，

∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.

思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．

跟踪训练2　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝        .

答案　或－

解析　因为sin α＝>0，

所以α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.

①当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝.

②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

综合①②知，原式＝或－.

(2)若tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)

A.  B.  C．－1  D．1

答案　A

解析　∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.

原式＝＝＝.