第六章 计数原理（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年高考数学必背知识手册（新教材）

第六章 计数原理（公式、定理、结论图表）

一、计数原理

1.分类加法计数原理

概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法（也称加法原理）

特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”

2.分步乘法计数原理

概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法（也称乘法原理）

特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”

3.两个原理的联系与区别

⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

⑵区别

4、计数原理的解题步骤

(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”；

(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；

(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；

(4)作答。

5、从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数。

二、排列

1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示

3.排列数公式：（，且）

三、组合

1.组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示

3.组合数公式：（，且）

4.组合数的性质：（1）；（2）

四、二项式定理

1.二项式定理

概念：一般地，对于任意的正整数，

都有. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，称为二项展开式的第项，又称为二项展开式的通项

2.二项展开式的特征：

（1）二项展开式共有项；

（2）二项式系数依次为组合数；

（3）各项次数都等于二项式的幂指数；

（4）字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到

3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分

4.二项式系数的性质

对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的

最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值

5.二项式系数和：

（1）二项展开式中各二项式系数之和为；

（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于.

<解题方法与技巧>

一、分类加法计数原理的应用

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置．

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

典例1： 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

[思路点拨]根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．

[解]　法一：分析个位数，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；

同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…；个位是2的只有1个．

由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．

法二：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．

法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：

12,13,14,15,16,17,18,19，

23,24,25,26,27,28,29，

34,35,36,37,38,39，

45,46,47,48,49，

56,57,58,59，

67,68,69，

78,79，

89.

共有36个符合题意的两位数．

二、应用分步乘法计数原理的注意事项

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

典例2： 回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，…，191，202，…，999.则四位回文数有______个，位回文数有______个.

【解】：由题意，可得4位回文数的特点为中间两位是相同的，千位和个位数相同但不能为0，

第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；

第二步，选中间两位数字，共有10种选法；

由分步计数原理可得，4位回文数共有个.

在位回文数中，

第一步，先选左边的第一个数字，共有9种选法；

第二步，分步选左边的第个数字，共有种选法，

由分步计数原理可得，在位回文数中，共有个.

故答案为：90；.

三、.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧

四、排列组合解题方法

1．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数

2．相邻问题捆绑法：  题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

3．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

4．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

5．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

6．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

7．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

8．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法

9．相同元素的分配问题隔板法：

10．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）

11．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;

（2）根据相对区域是否同色分类讨论;

（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

典例3：名同学，其中名男同学，名女同学：

(1)站成一排，共有多少种不同的排法？

【解析】问题可以看作个元素的全排列。

(2)站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？

【解析】根据分步计数原理。

(3)站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？

【解析】根据分步计数原理。

(4)站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

【解析】首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列。

(5)站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？

【解析】首先先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列。

(6)站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

【解析】根据分步计数原理：

第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，

∴共有种排列方法。

(7)站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

【解析】解法1(直接法)：

第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，

第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，

∴一共有种排列方法；

解法2(排除法)：

若甲站在排头有种方法，若乙站在排尾有种方法，

若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，

∴甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有种。

(8)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？

【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，

再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，

最后将甲、乙两名同学“松绑”进行排列有种方法，

∴这样的排法一共有种方法。

(9)站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起。

【解析】先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，

再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，

这时一共有个整合的后元素，有种情况，

∴一共有排法种数：(种)。

(10)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

【解析】解法一：将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，

∵丙不能站在排头和排尾，

∴可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法，

将剩下的个元素进行全排列有种方法，

最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，

∴这样的排法一共有种方法。

解法二：将甲、乙两“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，有种方法，

若丙站在排头或排尾有种方法，

最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，

∴丙不能站在排头和排尾的排法有种方法。

解法三：将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，

∵丙不能站在排头和排尾，∴可以先从其余的四个位置选择共有种方法，

再将其余的个元素进行全排列共有种方法，

最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，

∴这样的排法一共有种方法。

(11)站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？

【解析】解法一：(排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能，

则甲、乙两名同学不能相邻=总数-甲、乙两名同学相邻：。

解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，

再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法，

∴一共有种方法。

(12)站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？

【解析】先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，

再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，

∴一共有种。

(13)站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？

【解析】先将名女同学排好有种方法，此时她们留下四个“空”，

再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法，

∴一共有种。

(14)站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？

【解析】先将名同学全排有种方法，再将甲、乙两名同学全排有种方法，

∵甲必要站在乙的前面，∴只需要总数的种方法，∴一共有种。

(15)名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？

【解析】把任意一名同学固定在任意一个位置，

再把其他名同学往其他位置里全排，有种方法

则一共有种方法。

规律总结：

1.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他的位置，有俩个以上的约束条件时，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件．

2.若以元素为主，需要满足特殊元素的要求，再处理其他的元素．

3.“相邻”用“捆绑法”，“不相邻”用“插空法”，特殊位置或特殊元素用优先安排的策略．

4.有限制条件的组合问题，主要有“含”与 “不含”“至少”与“至多”等问题·，解决方法有直接法与间接法两种，解题时要注意题目中的关键词语，防止重复或遗漏．

五、杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算：

　　…………………  

　　………………    

　　……………       

　　…………         

　　………          

　　……            

……

表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是，其余各数都等于它肩上两个数字的和。”类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，如图叫杨辉三角，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数。

典例4：若的展开式二项式系数和比的展开式二项式系数和大。则在的展开式中：

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项。

【解析】由题意知，即，则，。

(1)的展开式中第项的二项式系数最大，即，

∴二项式系数最大的项为；

(2)设第项的系数的绝对值最大，则，

则得即，解得，

∵，∴，故系数的绝对值最大的项是第项，。