2019届二轮复习简单的逻辑联结词学案（全国通用）

《逻辑联结词“且”“或”“非”》专题

一、知识点梳理　

(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．

(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．

(3)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”．

(4)命题的真假：若p是真命题，则必是假命题；若p是假命题，则必是真命题．

真值表如下：

题型一：含有“且”“或”“非”命题的构成

1、分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

答案：p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

答案：p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

2、写出下列命题的否定形式．

（1）面积相等的三角形都是全等三角形； 答案：面积相等的三角形不都是全等三角形

（2）若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；答案：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零

（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.   答案：若xy＝0，则x≠0且y≠0.

（4）π是有理数；  答案：π不是有理数

（5）p：在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B.

答案：在△ABC中，若A＞B，则sin A≤sin B.

3、指出下列命题的形式及构成它的命题．

(1)向量既有大小又有方向；  答案：p且q形式命题

(2)矩形有外接圆或有内切圆； 答案：p或q形式命题

(3)2≥2.  答案：p或q形式命题

4、给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有     

答案：①③④

5、命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是若a≥b，则2a≥2b，命题的否定是若a＜b，则2a≥2b．

题型二：“p且q”和“p或q”“非p”形式命题的真假判断

1、分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．

(1)p：是无理数，q：π不是无理数；

答案：∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假

(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；

答案：∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真

(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．

答案：∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假

（4）p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；

答案：因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真

2、已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是(　C　)

A．p为假命题      B．q为真命题    C．p或q为真命题   D．p且q为真命题

3、由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是(　B　)

A．p：4＋4＝9，q：7＞4    B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}

C．p：15是质数，q：8是12的约数     D．p：2是偶数，q：2不是质数

3、已知命题p，q，若p为真命题，则(　C　)

A．p且q必为真     B．p且q必为假    C．p或q必为真   D．p或q必为假

4、已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，则下列结论：

①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中所有正确结论的序号是①④⑤⑥

5、命题“p且q”与“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是(　D　)

A．命题“”与“”真假不同    B．命题“”与“”至多有一个是假命题

C．命题“”与“q”真假相同      D．命题“()且()”是真命题

6、命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sin x成立，则命题p的否定是(　C　)

A．不存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立   B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sin x成立

C．存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立     D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2＞sin x成立

题型三：已知复合命题的真假求参数范围

1、已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p且q”为真，则实数x的取值范围是[1,3]

2、命题p：|x2－x|≤2，q：x∈ ，若“p且q”与“”同时为假命题，则x的取值范围为       

答案：{x|－1<x<2且x≠0,1}

3、命题p：方程x2－ax＋1＝0无实数根，为假命题，则a的取值范围为(－2,2) 

4、已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

答案：因为p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，

所以所以m＞2.

因为q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，

所以16(m2－4m＋3)＜0，所以1＜m＜3.

因为p或q为真，p且q为假，

所以p为真，q为假或者p为假，q为真．

即或

解得m≥3或1＜m≤2.  所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．

5、已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．

答案：若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.

设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，

若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.

由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假．

若p假q真，则m<－3且m≠－4；若p真q假，则m无解．

所以实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．

6、命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

答案：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，

所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.

函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a＞1，即a＜1.

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

①若p真q假，则∴1≤a＜2.

②若p假q真，则∴a≤－2.

综上可知，所求实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．

7、已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

答案：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．

p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，∴a≥4或a≤－4；

q为真命题时，对称轴x＝－≤3，∴a≥－12.

当p真q假时，得a<－12；

当p假q真时，得－4<a<4.

综上所述，a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．

8、已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．
若p为真命题，求实数m的取值范围；
若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．

答案：若p为真命题，则应有，解得．
若q为真命题，则有，即，
因为为真命题，为假命题，则p，q应一真一假．
当p真q假时，有，得；
当p假q真时，有，无解．
综上，m的取值范围是．

9、已知，p：，q：．
若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
若，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围．

答案：由得，即p：，

记命题p的解集为，命题q的解集为，
是的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，
，，解得：．
“”为真命题，“”为假命题，
命题p与q一真一假，
若p真q假，则，无解，
若p假q真，则，解得：或．
综上得：