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2019届二轮复习集合与简单逻辑学案（全国通用）
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集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.
1．集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：
①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．
(4)需要特别注意的运算性质和结论．
①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；
②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A
2．四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
3．充要条件
(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．
(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．
5．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．
它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．
(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)．
它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).
高频考点一 集合的概念及运算
例1、（2018年全国I卷） 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
【变式探究】【2017课标1，文1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
【变式探究】设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
解析：通解：(直接法)解x2－4x＋3＜0，即(x－1)(x－3)＜0，得1＜x＜3，故A＝{x|1＜x＜3}；
解2x－3＞0，得x＞，所以B＝{x|x＞}．
如图，用数轴表示两个集合A，B.
由图可得A∩B＝{x|＜x＜3}，选D.
优解：(排除法)观察选项可知A，B两项对应集合中含有负数，C，D两项对应集合中的元素均为正数．
当x＝－1时，2x－3＝2×(－1)－3＝－5＜0，故－1∉B，所以－1∉A∩B，故排除A，B两项；
当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1＞0，x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1＜0，所以2∈A,2∈B，所以2∈A∩B，故可排除C项．
综上，选D.
答案：D
【变式探究】 (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；学 -
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.
速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．
∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.
B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．
即3×3更不可能．故选C.
速解法二：当x＝y时，x－y＝0；
当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.
故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.
答案：C
高频考点二 充分、必要条件
例2、（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
【变式探究】【2017天津，文2】设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.
【变式探究】设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：通解：(画出可行域，数形结合求解)
如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．
优解：q：满足条件的三个边界点分别是A(0,1)，B(2,1)，C(1,0)都适合p；而p中的点O(0,0)，不适合q，
故p是q的必要不充分条件，选A.
答案：A
【变式探究】(1) 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．
当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
答案：C
(2)“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：基本法：若函数y＝sin为单调递增函数，则－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈ ，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈ .
从而函数y＝sin的单调递增区间是(k∈ )．
因此若x∈，则函数y＝sin为单调递增函数；
若函数y＝sin为单调递增函数⇒/ x∈.
所以“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.
速解法：当x∈时⇒x＋∈⇒y＝sin为增函数，
但y＝sin为增函数⇒/ x＋∈⇒/ x∈.
答案：A
【变式探究】已知x∈R，则“x2－3x>0”是“x－4>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：基本法：判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.
注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0，即不充分．
若x－4>0，则x(x－3)>0，即必要．故选B.
答案：B
高频考点三 命题判定及否定
例3、【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
【变式探究】(1)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：基本法：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.
答案：C
(2)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：基本法：当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，∴p：∀x∈R,2x<3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∵綈p为真命题，∴(綈p)∧q是真命题．选B.
速解法：当x＝0时，不满足2x＜3x，∴p为假，排除A、C.利用图象可知，q为真，排除D，必选B.
答案：B
【变式探究】已知命题p：∃x∈R,2x＞3x；命题q：∀x∈，tan x＞sin x，则下列是真命题的是( )
A．(綈p)∧q B．(綈p)∨(綈q)
C．p∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：基本法：先判断命题p、q的真假，然后根据选项得出正确结论．
当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈时，tan x－sin x＝＞0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)是真命题，其他选项都不正确，故选D.
速解法：p为真时，p或任何命题为真，故选D.
答案：D
1. （2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
2. （2018年北京卷）已知集合A={(? ?|<2)},B={−2,0,1,2},则
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
【答案】A
【解析】， ，，故选A。
3. （2018年天津卷）设集合，，，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.
本题选择C选项。
4.（2018年全国I卷） 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
5. （2018年全国卷Ⅱ）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,，故选C。
6. （2018年全国III卷）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得，所以，故答案选C.
7. （2018年江苏卷）已知集合，，那么 ．
【答案】{1，8}
【解析】由题设和交集的定义可知：.
8.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
9. （2018年北京卷）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件，综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
10. （2018年天津卷）设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件，本题选择A选项。
11.（2018年北京卷）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足。所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）
1.【2017课表1，文1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
2.【2017课标II，文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，故选A.
3.【2017课标3，文1】已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得： ，中元素的个数为2，所以选B.
4.【2017天津，文1】设集合，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由题意可得：.本题选择B选项
5.【2017北京，文1】已知，集合，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】因为或，所以，故选C.
6.【2017浙江，1】已知，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用数轴，取所有元素，得．
【考点】集合运算
7.【2017天津，文2】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
8.【2017山东，文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,故,故选C.
9.【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
1.【2016高考新课标1文数】设集合,,则（ ）
（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}
【答案】B
【解析】集合A与集合B公共元素有3,5,,故选B.
2. 【2016高考新课标2文数】已知集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由得，所以，因为，所以，故选D.
3.[2016高考新课标Ⅲ文数]设集合，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由补集的概念，得，故选C．
4.【2016高考天津文数】已知集合，，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】,选A.
5.【2016高考四川文 】设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，可得，而当时，不能得出且.故是的充分不必要条件，选A.
6.【2016高考四川文 】设集合, 为整数集，则集合A∩ 中元素的个数是( )
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
【答案】B
【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选B.
7.【2016高考浙江文数】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=（ ）
A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
8.【2016高考天津文数】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满
，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意得，故选C
9.【2016高考天津文数】设，，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 | |X|X|K]
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C
10.【2016高考上海文 】设，则“”是“”的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.
11.【2016高考北京文数】已知集合，或，则（ ）
A. B.或 C. D.或
【答案】C
【解析】由题意得，，故选C.
12.【2016高考山东文数】设集合，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由已知，，所以，选A.
1.【2015高考新课标1，文1】已知集合，则集合中的元素个数为( )
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
【答案】D
【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.
2.【2015高考重庆，文1】已知集合，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由已知及交集的定义得，故选C.
3.【2015高考浙江，文1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，所以，故选A.
4.【2015高考天津，文1】已知全集,集合,集合,则集合（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,,则,故选B.
5.【2015高考四川，文1】设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )
(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}
【答案】A
【解析】由已知，集合A＝（－1，2），B＝（1，3），故A∪B＝（－1，3），选A
6.【2015高考山东，文1】 已知集合，则 ( )
（A） （B） （C）（ （D））
【答案】
【解析】因为所以，故选.
7.【2015高考陕西，文1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，，
所以，故答案选.
8.【2015高考安徽，文2】设全集，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】∵ ，∴，∴选B.
9.【2015高考广东，文1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选C．
10.【2015高考安徽，文3】设p：x<3，q：-1
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.
11.【2015高考浙江，文3】设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
12.【2015高考重庆，文2】“”是“”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“ ”显然能推出“”，故条件是充分的，又由“”可得，所以条件也是必要的，故选A.
13.【2015高考天津，文4】设,则“”是“”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.学
14.【2015高考四川，文4】设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之当log2a＞log2b＞0成立时，a＞b＞1也正确.选A
15.【2015高考湖南，文3】设R，则“>1”是“>1”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题易知“>1”可以推得“>1”， “>1”不一定得到“>1”，所以“>1”是“>1”的充分不必要条件，故选A.
1. 【2014高考北京卷文第1题】若集合A=，B=，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以选C.
2. 【2014高考大纲卷文第1题】设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】MN={1，2， 6，}.故选B.
3.【2014高考福建卷文第1题】若集合则等于 （ ）
【答案】
【解析】由已知，选.
4. 【2014高考广东卷文第1题】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，故选B.
5. 【2014高考湖北卷文第1题】 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，故选C.
6. 【2014高考湖南卷文第2题】已知集合，则（ ）
【答案】C
【解析】由交集的定义可得,故选C.
7. 【2014高考江苏卷第1题】已知集合，，则 .
【答案】
【解析】由题意得．
8. 【2014高考江西卷文第2题】设全集为，集合
，则( )
【答案】C
【解析】因为
所以
9 【2014高考辽宁卷文第1题】 已知全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，或，故．
10. 【2014高考全国1卷文第1题】已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据集合的运算法则可得：，选B．
11. 【2014高考全国2卷文第1题】设集合,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得，，故，选B．
12. 【2014高考山东卷文第2题】设集合则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由已知所以，选.
13. 【2014高考陕西卷文第1题】已知集合，则（ ）
【答案】D
【解析】由
所以。
14. 【2014高考四川卷文第1题】已知集合，集合为整数集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知所以，选.
15. 【2014高考浙江卷文第1题】设集合 ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，故选D.
16. 【2014高考重庆卷文第11题】已知集合，则 .
【答案】
【解析】
所以答案应填.
1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
答案：A
解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝
{x|0
A．0 B．1
C．2 D．4
答案：D
解析：因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，
A∪B＝{0,1,2,4,16}，
所以则a＝4.
3．已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为a>2，则a2>2a成立，反之不成立，所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件．
4．已知集合A＝{ ∈C| ＝1－2ai，a∈R}，B＝{ ∈C |＝2}，则A∩B等于( )
A．{1＋i,1－i} B．{－i}
C．{1＋2i,1－2i} D．{1－i}
答案：A
解析：A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±.故选A.
5．设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝( )
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
答案：A
解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．
6．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案：A
7．设集合P＝，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由2 x2＋2x＝－x－6，得2x2＋2x＝2x＋6，
∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，
∴集合P＝{2，－3}．
若m＝0，则T＝∅⊆P.
若m≠0，则T＝，
由T⊆P，得－＝2或－＝－3，
∴m＝－或m＝.故选C.
8．若“0
C．[－1,0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案：C
解析：(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2，
由集合的包含关系知，⇒a∈[－1,0]．
9．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必有一真一假
答案：D
解析：易知A，B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y知，C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
10．有如下四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，<；
p2：∃x0∈，x＝；
p3：∀x∈R,2x>x2；学+
p4：∀x∈(1，＋∞)，x－1>logx.
其中真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
答案：D
解析：根据指数函数的性质，
∀x∈(0，＋∞)，x>x，
故命题p1是假命题；
令f(x)＝x－x，
则f＝－>0，
f＝－<0，
所以ff<0，
所以命题p2是真命题；
当x＝2时，2x＝22＝4，x2＝22＝4，
故2x>x2不成立，命题p3是假命题；
当x>1时，x－1>1，logx<0，
故x－1>logx恒成立，
命题p4是真命题，故选D.
11．下列命题正确的个数是( )
①命题“∃x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：易知①正确；因为f(x)＝cos 2ax，所以＝π，即a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x＋2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x＋2)min，x∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b<0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”，故④不正确．
12．已知命题p：已知实数a，b，则ab>0是a>0且b>0的必要不充分条件，命题q：在曲线y＝cos x上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
答案：C
解析：显然命题p为真命题，命题q：y＝cos x的导函数为y′＝－sin x，－1≤y′≤1，故曲线y＝cos x上不存在斜率为的切线，q为假命题，綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
13．已知集合A＝{ －1|<2}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝ .
答案：{x|0
答案：[1，＋∞)
解析：因为p∨q是假命题，
所以p和q都是假命题．
由p：∃x0∈R，mx＋2≤0为假命题知，
綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，
所以m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题知，
綈q：∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0为真命题，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
15．设全集U＝A∪B＝{x∈N |lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝ .
答案：{2,4,6,8}
解析：U＝A∪B＝{x∈N |lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，所以B＝{2,4,6,8}．
16．下列命题中，是假命题的是 ．
①存在α，β∈R，有tan(α＋β)＝tan α＋tan β；
②对任意x>0，有lg2x＋lg x＋1>0；
③△ABC，A>B的充要条件是sin A>sin B；
④对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．
答案：④
集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.
1．集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：
①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．
(4)需要特别注意的运算性质和结论．
①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；
②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A
2．四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
3．充要条件
(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．
(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．
5．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．
它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．
(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)．
它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).
高频考点一 集合的概念及运算
例1、（2018年全国I卷） 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
【变式探究】【2017课标1，文1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
【变式探究】设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
解析：通解：(直接法)解x2－4x＋3＜0，即(x－1)(x－3)＜0，得1＜x＜3，故A＝{x|1＜x＜3}；
解2x－3＞0，得x＞，所以B＝{x|x＞}．
如图，用数轴表示两个集合A，B.
由图可得A∩B＝{x|＜x＜3}，选D.
优解：(排除法)观察选项可知A，B两项对应集合中含有负数，C，D两项对应集合中的元素均为正数．
当x＝－1时，2x－3＝2×(－1)－3＝－5＜0，故－1∉B，所以－1∉A∩B，故排除A，B两项；
当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1＞0，x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1＜0，所以2∈A,2∈B，所以2∈A∩B，故可排除C项．
综上，选D.
答案：D
【变式探究】 (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；学 -
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.
速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．
∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.
B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．
即3×3更不可能．故选C.
速解法二：当x＝y时，x－y＝0；
当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.
故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.
答案：C
高频考点二 充分、必要条件
例2、（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
【变式探究】【2017天津，文2】设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.
【变式探究】设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：通解：(画出可行域，数形结合求解)
如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．
优解：q：满足条件的三个边界点分别是A(0,1)，B(2,1)，C(1,0)都适合p；而p中的点O(0,0)，不适合q，
故p是q的必要不充分条件，选A.
答案：A
【变式探究】(1) 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．
当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
答案：C
(2)“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：基本法：若函数y＝sin为单调递增函数，则－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈ ，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈ .
从而函数y＝sin的单调递增区间是(k∈ )．
因此若x∈，则函数y＝sin为单调递增函数；
若函数y＝sin为单调递增函数⇒/ x∈.
所以“x∈”是“函数y＝sin为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.
速解法：当x∈时⇒x＋∈⇒y＝sin为增函数，
但y＝sin为增函数⇒/ x＋∈⇒/ x∈.
答案：A
【变式探究】已知x∈R，则“x2－3x>0”是“x－4>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：基本法：判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.
注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0，即不充分．
若x－4>0，则x(x－3)>0，即必要．故选B.
答案：B
高频考点三 命题判定及否定
例3、【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
【变式探究】(1)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：基本法：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.
答案：C
(2)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：基本法：当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，∴p：∀x∈R,2x<3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∵綈p为真命题，∴(綈p)∧q是真命题．选B.
速解法：当x＝0时，不满足2x＜3x，∴p为假，排除A、C.利用图象可知，q为真，排除D，必选B.
答案：B
【变式探究】已知命题p：∃x∈R,2x＞3x；命题q：∀x∈，tan x＞sin x，则下列是真命题的是( )
A．(綈p)∧q B．(綈p)∨(綈q)
C．p∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：基本法：先判断命题p、q的真假，然后根据选项得出正确结论．
当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈时，tan x－sin x＝＞0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)是真命题，其他选项都不正确，故选D.
速解法：p为真时，p或任何命题为真，故选D.
答案：D
1. （2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
2. （2018年北京卷）已知集合A={(? ?|<2)},B={−2,0,1,2},则
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
【答案】A
【解析】， ，，故选A。
3. （2018年天津卷）设集合，，，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.
本题选择C选项。
4.（2018年全国I卷） 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
5. （2018年全国卷Ⅱ）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,，故选C。
6. （2018年全国III卷）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得，所以，故答案选C.
7. （2018年江苏卷）已知集合，，那么 ．
【答案】{1，8}
【解析】由题设和交集的定义可知：.
8.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
9. （2018年北京卷）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件，综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
10. （2018年天津卷）设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件，本题选择A选项。
11.（2018年北京卷）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足。所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）
1.【2017课表1，文1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
2.【2017课标II，文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，故选A.
3.【2017课标3，文1】已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得： ，中元素的个数为2，所以选B.
4.【2017天津，文1】设集合，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由题意可得：.本题选择B选项
5.【2017北京，文1】已知，集合，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】因为或，所以，故选C.
6.【2017浙江，1】已知，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用数轴，取所有元素，得．
【考点】集合运算
7.【2017天津，文2】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
8.【2017山东，文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,故,故选C.
9.【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
1.【2016高考新课标1文数】设集合,,则（ ）
（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}
【答案】B
【解析】集合A与集合B公共元素有3,5,,故选B.
2. 【2016高考新课标2文数】已知集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由得，所以，因为，所以，故选D.
3.[2016高考新课标Ⅲ文数]设集合，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由补集的概念，得，故选C．
4.【2016高考天津文数】已知集合，，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】,选A.
5.【2016高考四川文 】设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，可得，而当时，不能得出且.故是的充分不必要条件，选A.
6.【2016高考四川文 】设集合, 为整数集，则集合A∩ 中元素的个数是( )
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
【答案】B
【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选B.
7.【2016高考浙江文数】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=（ ）
A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
8.【2016高考天津文数】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满
，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意得，故选C
9.【2016高考天津文数】设，，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 | |X|X|K]
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C
10.【2016高考上海文 】设，则“”是“”的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.
11.【2016高考北京文数】已知集合，或，则（ ）
A. B.或 C. D.或
【答案】C
【解析】由题意得，，故选C.
12.【2016高考山东文数】设集合，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由已知，，所以，选A.
1.【2015高考新课标1，文1】已知集合，则集合中的元素个数为( )
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
【答案】D
【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.
2.【2015高考重庆，文1】已知集合，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由已知及交集的定义得，故选C.
3.【2015高考浙江，文1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，所以，故选A.
4.【2015高考天津，文1】已知全集,集合,集合,则集合（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,,则,故选B.
5.【2015高考四川，文1】设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )
(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}
【答案】A
【解析】由已知，集合A＝（－1，2），B＝（1，3），故A∪B＝（－1，3），选A
6.【2015高考山东，文1】 已知集合，则 ( )
（A） （B） （C）（ （D））
【答案】
【解析】因为所以，故选.
7.【2015高考陕西，文1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，，
所以，故答案选.
8.【2015高考安徽，文2】设全集，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】∵ ，∴，∴选B.
9.【2015高考广东，文1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选C．
10.【2015高考安徽，文3】设p：x<3，q：-1
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.
11.【2015高考浙江，文3】设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
12.【2015高考重庆，文2】“”是“”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“ ”显然能推出“”，故条件是充分的，又由“”可得，所以条件也是必要的，故选A.
13.【2015高考天津，文4】设,则“”是“”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.学
14.【2015高考四川，文4】设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之当log2a＞log2b＞0成立时，a＞b＞1也正确.选A
15.【2015高考湖南，文3】设R，则“>1”是“>1”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题易知“>1”可以推得“>1”， “>1”不一定得到“>1”，所以“>1”是“>1”的充分不必要条件，故选A.
1. 【2014高考北京卷文第1题】若集合A=，B=，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以选C.
2. 【2014高考大纲卷文第1题】设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】MN={1，2， 6，}.故选B.
3.【2014高考福建卷文第1题】若集合则等于 （ ）
【答案】
【解析】由已知，选.
4. 【2014高考广东卷文第1题】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，故选B.
5. 【2014高考湖北卷文第1题】 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，故选C.
6. 【2014高考湖南卷文第2题】已知集合，则（ ）
【答案】C
【解析】由交集的定义可得,故选C.
7. 【2014高考江苏卷第1题】已知集合，，则 .
【答案】
【解析】由题意得．
8. 【2014高考江西卷文第2题】设全集为，集合
，则( )
【答案】C
【解析】因为
所以
9 【2014高考辽宁卷文第1题】 已知全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，或，故．
10. 【2014高考全国1卷文第1题】已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据集合的运算法则可得：，选B．
11. 【2014高考全国2卷文第1题】设集合,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得，，故，选B．
12. 【2014高考山东卷文第2题】设集合则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由已知所以，选.
13. 【2014高考陕西卷文第1题】已知集合，则（ ）
【答案】D
【解析】由
所以。
14. 【2014高考四川卷文第1题】已知集合，集合为整数集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知所以，选.
15. 【2014高考浙江卷文第1题】设集合 ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，故选D.
16. 【2014高考重庆卷文第11题】已知集合，则 .
【答案】
【解析】
所以答案应填.
1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
答案：A
解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝
{x|0
A．0 B．1
C．2 D．4
答案：D
解析：因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，
A∪B＝{0,1,2,4,16}，
所以则a＝4.
3．已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为a>2，则a2>2a成立，反之不成立，所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件．
4．已知集合A＝{ ∈C| ＝1－2ai，a∈R}，B＝{ ∈C |＝2}，则A∩B等于( )
A．{1＋i,1－i} B．{－i}
C．{1＋2i,1－2i} D．{1－i}
答案：A
解析：A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±.故选A.
5．设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝( )
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
答案：A
解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．
6．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案：A
7．设集合P＝，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由2 x2＋2x＝－x－6，得2x2＋2x＝2x＋6，
∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，
∴集合P＝{2，－3}．
若m＝0，则T＝∅⊆P.
若m≠0，则T＝，
由T⊆P，得－＝2或－＝－3，
∴m＝－或m＝.故选C.
8．若“0
C．[－1,0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案：C
解析：(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2，
由集合的包含关系知，⇒a∈[－1,0]．
9．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必有一真一假
答案：D
解析：易知A，B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y知，C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
10．有如下四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，<；
p2：∃x0∈，x＝；
p3：∀x∈R,2x>x2；学+
p4：∀x∈(1，＋∞)，x－1>logx.
其中真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
答案：D
解析：根据指数函数的性质，
∀x∈(0，＋∞)，x>x，
故命题p1是假命题；
令f(x)＝x－x，
则f＝－>0，
f＝－<0，
所以ff<0，
所以命题p2是真命题；
当x＝2时，2x＝22＝4，x2＝22＝4，
故2x>x2不成立，命题p3是假命题；
当x>1时，x－1>1，logx<0，
故x－1>logx恒成立，
命题p4是真命题，故选D.
11．下列命题正确的个数是( )
①命题“∃x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：易知①正确；因为f(x)＝cos 2ax，所以＝π，即a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x＋2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x＋2)min，x∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b<0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”，故④不正确．
12．已知命题p：已知实数a，b，则ab>0是a>0且b>0的必要不充分条件，命题q：在曲线y＝cos x上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
答案：C
解析：显然命题p为真命题，命题q：y＝cos x的导函数为y′＝－sin x，－1≤y′≤1，故曲线y＝cos x上不存在斜率为的切线，q为假命题，綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
13．已知集合A＝{ －1|<2}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝ .
答案：{x|0
答案：[1，＋∞)
解析：因为p∨q是假命题，
所以p和q都是假命题．
由p：∃x0∈R，mx＋2≤0为假命题知，
綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，
所以m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题知，
綈q：∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0为真命题，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
15．设全集U＝A∪B＝{x∈N |lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝ .
答案：{2,4,6,8}
解析：U＝A∪B＝{x∈N |lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，所以B＝{2,4,6,8}．
16．下列命题中，是假命题的是 ．
①存在α，β∈R，有tan(α＋β)＝tan α＋tan β；
②对任意x>0，有lg2x＋lg x＋1>0；
③△ABC，A>B的充要条件是sin A>sin B；
④对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．
答案：④
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