2020届二轮复习 简单的线性规划 学案（全国通用）

简单的线性规划

【考纲要求】

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。

【知识网络】

【考点梳理】

不等式与不等关系394841 知识要点】

考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

要点诠释：

画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：

①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；

②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；

③确定要画不等式所表示的平面区域。

简称：“直线定界，特殊点定域”方法。

考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

要点诠释：

判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

考点三：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

要点诠释：

在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：

①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。

②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；

③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；

④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。

考点四：解线性规划问题总体步骤：

设变量→找约束条件，找目标函数

作图，找出可行域求出最优解

要点诠释：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：

 ①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；

 ②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

【典型例题】

类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域

例1. 用平面区域表示不等式组.

【解析】不等式表示直线右下方的区域，

表示直线右上方的区域，

取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

举一反三：

【变式1】画出不等式组表示的平面区域并求其面积。

【解析】如图，面积为；

【变式2】由直线，和围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为                 。

【解析】

【变式3】求不等式组表示平面区域的面积.

【解析】不等式所表示的平面区域如图

联立方程组得

所以

例2. 画出下列不等式表示的平面区域

(1) ； (2)

【解析】 (1) 原不等式等价转化为或（无解），

故点在区域内，如图：

(2) 原不等式等价为或，如图

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式

（1）；  （2）； （3）

【解析】

（1）               （2）                  （3）

例3.求满足不等式组的整数解.

【解析】设： ，：，：，则

由，得，

由，得

由，得

于是看出区域内点的横坐标在内，取，

当时，代入原不等式组有，即，得＝－2，

∴区域内有整点。

同理可求得另外三个整点、、.

举一反三：

【变式1】求不等式组的整数解。

【解析】如图所示，

作直线，，，

在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，

此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法解决简单的线性规划问题.

不等式与不等关系394841 基础练习一】

例4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（  ）

A．12  B．10  C．8  D．2

【解析】由约束条件可知可行域如图：

平移知在处取得最大值

答案：B

举一反三：

【变式1】求的最大值和最小值，使式中的,满足约束条件.

【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）

作直线，把向右上方平移至位置，

即直线经过可行域上点A时，距原点距离最大，且，

这时目标函数取得最大值.

由方程组 ，解得，∴.

把直线向左下方平移至位置，即直线l经过可行域上点B时，由于，

这时目标函数取得最小值.

由方程组 ，解得，∴.

【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷个，则的值为                  .

【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得.

【变式3】如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（    ）

A．  B．  C．  D．

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，

要求的最小值只需求出圆心到平面区域的最小值再减去半径1即可。

由图象可以知道圆心到平面区域的最小值就是圆心到直线的距离

（垂足为A）

所以，故选Ａ

例5(2015春  衡阳校级期末)若满足求：

(1) 的最小值;

(2) 的范围；

(3) 的最大值.

【解析】作出满足已知条件的可行域为内(及边界)区域，如图其中，，

(1)    目标函数表示直线，表示该直线

纵截距，当过点时纵截距有最小值，故

(2)目标函数表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB距离

   且垂足是在线段AB上，故 ，即

(3)目标函数，则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即即

举一反三：

【变式】(2015春  龙海市期末)变量满足约束条件若的最大值为2，则实数m等于     .

【答案】1

【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图阴影)

变形目标函数可得，平移直线经过点A时，目标函数取最大值2，

联立可解得即点

，解得

类型三：某些实际背景的线性规划问题.

例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?

【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件 

约束条件：，

目标函数：z=7000x+12000y

如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

， 即A（20，24）

∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。

答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。

举一反三：

【变式1】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？

【解析】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：

，即

如图所示，作出不等式表示的区域，

作直线，即，

作直线的平行线：

当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，

可得A点坐标为。

∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，

而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，

即过时，，

但此时，

∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，

当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。

∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，

即zmin=160×5+2×252=1304（元）.