2019届二轮复习逻辑联结词、全称量词与存在量词学案（全国通用）
展开1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
2．理解全称量词与存在量词的意义
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定
热点题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1、【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是
A． B. C. D.
【答案】B
【提分秘籍】
(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
①先判断简单命题p，q的真假。
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假。
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系
①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假。
②p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真。
③p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假。
④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真。
⑤綈p真⇔p假；綈p假⇔p真。
【举一反三】
命题p：函数f(x)＝x3－3x在区间(－1,1)内单调递减，命题q：函数f(x)＝ sin2x 的最小正周期为π，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∨q C．p∨q D．(綈p)∧(綈q)
解析：由f′(x)＝3x2－3＜0，解得－1＜x＜1，故函数f(x)＝x3－3x在区间(－1,1)内单调递减，即命题p为真命题；函数y＝sin2x的最小正周期为π，则函数f(x)＝ sin2x 的最小正周期为，即命题q为假命题．由于p真、q假，故p∧q为假命题，p∨q为真命题；由于綈p假、q假，故(綈p)∨q为假命题；由于綈p假，綈q真，故(綈p)∧(綈q)为假命题。
答案：C
热点题型二 全称命题、特称命题的真假判断
例2、(1)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，x2≥0
B．∀x∈R,2x－1＞0
C．∃x0∈R， lgx0＜1
D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
(2)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x，命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
答案：(1) D (2) B
【提分秘籍】 全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 | 真假 | 判断方法一 . .X.X. | 判断方法二 |
全称命题 | 真 . | 所有对象使命题真 | 否定为假 . |
假 | 存在一个对象使命题假 | 否定为真 | |
特称命题 | 真 | 存在一个对象使命题真 | 否定为假 |
假 | 所有对象使命题假 | 否定为真 |
【举一反三】
已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m)
B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m)
C．∀x∈R，f(x)≤f(m)
D．∀x∈R，f(x)≥f(m)
解析：因为a＞0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值，所以f(m)是函数f(x)的最小值。故选C。
答案：C
热点题型三 含有一个量词的命题的否定
例3．(1)设x∈ ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∃x0∈A,2x0∈B
B．綈p：∃x0∉A,2x0∈B
C．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
D．綈p：∀x∉A,2x∉B
(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
答案：(1) C (2) C
【提分秘籍】
对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词。
【举一反三】
已知命题p：∃x0＞1，x－1＞0，那么綈p是( )
A．∀x＞1，x2－1＞0 B．∀x＞1，x2－1≤0
C．∃x0＞1，x－1≤0 D．∃x0≤1，x－1≤0
解析：特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x＞1，x2－1≤0，故选B。
答案：B
热点题型四 由命题真假求参数的取值范围
例4、已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立。若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围。
【提分秘籍】
解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。
【举一反三】
已知c＞0，命题p：函数y＝cx在R上单调递减，q：不等式x＋ x－2c ＞1的解集为R，p∧q为假，p∨q为真，求c的取值范围。
【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
1.【2016高考四川文 】设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，可得，而当时，不能得出且.故是的充分不必要条件，选A.
2.【2016高考天津文数】设，，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C
3.【2016高考上海文 】设，则“”是“”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.
1.【2015高考浙江，文3】设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
2.【2015高考重庆，文2】“”是“”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“ ”显然能推出“”，故条件是充分的，又由“”可得，所以条件也是必要的，故选A.
3.【2015高考天津，文4】设,则“”是“”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.
4.【2015高考四川，文4】设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之当log2a＞log2b＞0成立时，a＞b＞1也正确.选A
5.【2015高考湖南，文3】设R，则“>1”是“>1”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
6.【2015高考安徽，文3】设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（ ）
（A）充分必要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.
1．（2014·北京卷） 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．
2．（2014·广东卷） 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B．故选A.∵sin≤A sin B，∴2Rsin A≤2Rsin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.
3．（2014·新课标全国卷Ⅱ）函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】C
4．（2014·浙江卷） 设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为平行四边形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.
