2019届二轮复习客观题的快速解法学案（全国通用）

专题一　客观题的快速解法

(对应学生用书第67~68页)

概述:　客观题包括选择题与填空题,全国卷中共设置12道选择题、4道填空题,每题均5分,共80分,占总分的53.3%.因此能否迅速、准确解答,成为全卷得分的关键.客观题是只看结果,不要解答过程,特别是选择题还提供了供选择的多个选择支(只有一个正确),所以解答客观题时尽量“不择手段”地采用最简捷方法快速地作答,尽量避免小题大做.解客观题的主要策略有直接法和间接法.

策略一　直接法

直接法是从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则或公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确结论的做题方法.

【例1】 若P是以F1、F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tan ∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为·=0,

所以PF1⊥PF2,

在Rt△PF1F2中,

设|PF2|=1,

则|PF1|=2,|F1F2|=,

所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,

故此椭圆的离心率e==.

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用“直接法”,但也切忌“小题大做”.

强化训练1:(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于(　　)

(A) (B) (C) (D)1

解析:由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α-1=,

所以cos α=,sin α=±,

得|tan α|=.

由题意知|tan α|=,

所以|a-b|=.故选B.

强化训练2:(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　. 

解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-x)+ln(+x)+2

=ln[(-x)(+x)]+2

=ln 1+2=2,

所以f(a)+f(-a)=2,

所以f(-a)=2-f(a)=-2.

答案:-2

策略二　间接法

根据客观题不用求过程,只要结果的特点,解客观题无论用什么办法选出或得出正确的结论或结果即可.常用的方法有数形结合法、特例法、验证排除法、估值法等.

方法一　数形结合法

【例2】 (2018·湖南省湘东五校联考)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)

(A) (B)

(C)+1 (D)-1

解析:

法一　如图,依题意知A(0,-1),B(0,1),不妨设Px,,抛物线的准线为l,过P作PC⊥l于点C,由抛物线的定义得|PB|=|PC|,

所以m==,

令t=1+,

由题易得点P异于点O,

所以x≠0,则t>1,

m==,

当=,即x=±2时,mmax=.

此时,|PB|=2,|PA|=2.

设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,离心率为e.

依题意得2a=|PA|-|PB|=2-2,2c=2,

则e===+1.故选C.

法二　

由题意得点P异于点O,记抛物线的准线为l,过P作PC⊥l于点C,

如图,由抛物线的定义得|PC|=|PB|,

所以m==,

当∠PAC最小,即PA与抛物线相切时,m最大.

设切点Px1,.

由题意得A(0,-1),B(0,1),

则切线的斜率为=,

解得x1=±2.

取P(2,1),此时,|PB|=2,|PA|=2.

设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,离心率为e.

依题意得2a=|PA|-|PB|=2-2,2c=2,

则e===+1.故选C.

数形结合法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系;如利用函数图象来直观说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数来阐明形的某些特殊性,如利用曲线方程来阐明曲线的几何性质.

强化训练3:(2018·郑州一中测试)设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则+的取值范围是(　　)

(A)(-3,+∞) (B)(-∞,3)

(C)[-3,3) (D)(-3,3]

解析:

在坐标平面内画出函数y=f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,当且仅当a∈(0,2]时,直线y=a与函数y=f(x)的图象有4个不同的交点,即方程f(x)=a有四个不同的解,此时有x1+x2=-4,|log2x3|=|log2x4|(0<x3<1<x4≤4),即有-log2x3=log2x4,x3x4=1,所以+=x4-(1<x4≤4),易知函数y=x4-在区间(1,4]上是增函数,因此其值域是(-3,3].故选D.

方法二　特例法

【例3】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)

(A)1- (B)2- (C) (D)-1

解析:由题设知|PF2|∶|PF1|∶|F1F2|=1∶∶2,

不妨设|PF2|=1,|PF1|=,|F1F2|=2,

则2a=|PF1|+|PF2|=1+,2c=2,

所以e===-1.故选D.

对于定性、定值问题的客观性试题,可用特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等代入,清晰、快捷地得出正确的答案.

强化训练4:(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为 (-∞,+∞) 的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　　)

(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50

解析:法一　(直接法)

因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,

因为f(-x)=-f(x),f(0)=0,

又f(1-x)=f(1+x),

所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]

=f(-x)=-f(x),

所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数,

又f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)

=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.

法二　(特例法)

取一个符合题意的函数f(x)=2sin ,则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.

故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2.故选C.

方法三　验证排除法(适应选择题)

【例4】 (2018·全国Ⅲ卷)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(　　)

解析:法一　易得函数y=-x4+x2+2为偶函数,

y'=-4x3+2x=-2x(x+1)(x-1),

令y'>0,即2x(x+1)(x-1)<0,

解得x<-或0<x<,

所以当y'<0时,-<x<0或x>,

所以函数y=-x4+x2+2在-∞,-, 0,上单调递增,在-,0, ,+∞上单调递减.故选D.

法二　令x=0,则y=2,排除A,B;令x=,

则y=-++2=+2,排除C.故选D.

排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提是单选题,具体作法是将选项逐一代入条件,运用定理性质、公式推演,其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除,从而得出正确选项.

强化训练5:(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)=的图象大致为(　　)

解析:因为f(-x)==-=-f(x)(x≠0),所以f(x)是定义域上的奇函数,所以函数f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称,排除选项A;因为f(1)=e->2,所以排除选项C,D.故选B.

强化训练6:(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在,上单调,则ω的最大值为(　　)

(A)11 (B)9 (C)7 (D)5

解析:若ω=11,则f(x)=sin(11x+φ),

因为x=-为f(x)的零点,

所以-π+φ=kπ,φ=+kπ,(k∈Z),

又|φ|≤,所以φ=-,

所以f(x)=sin11x-,此时x=为f(x)图象的对称轴,

当x∈,时,11x-∈,,

f(x)在,不单调,故排除A.

当ω=9,则f(x)=sin(9x+φ),

因为x=-为f(x)的零点,

所以-+φ=kπ,φ=+kπ,k∈Z,

又|φ|≤,

所以φ=,

所以f(x)=sin9x+,

此时x=为f(x)图象的对称轴,

当x∈,时,9x+∈,,

f(x)在,上单调,故B正确.

故选B.

方法四　估值法

【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(　　)

(A)90π (B)63π (C)42π (D)36π

解析:法一　(割补法)

依题意,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,其体积等价于底面半径为3,高为7的圆柱的体积,所以它的体积V=π×32×7=63π.故选B.

法二　(估值法)

由题意,知V圆柱<V几何体<V圆柱,

又V圆柱=π×32×10=90π,

所以45π<V几何体<90π.

观察选项可知只有63π符合.故选B.

估值法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法.

强化训练7:(2018·天津卷)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)

(A)a>b>c (B)b>a>c

(C)c>b>a (D)c>a>b

解析:lo=log35,

因为y=log3x为增函数,

所以log3 5>log3 >log3 3=1,

又因为<0=1,所以c>a>b.故选D.