2019届二轮复习 一元二次不等式及其解法 学案（全国通用）

1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型。

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

热点题型一    一元二次不等式的解法

例1、解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0。

【提分秘籍】   

解含参数的一元二次不等式的步骤

(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。

(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系。

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。

【举一反三】

解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0。

热点题型二    一元二次不等式恒成立问题

例2、已知函数f(x)＝x2＋ax＋3。

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2 时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

【解析】(1)f(x)≥a即x2＋ax＋3－a≥0，要使x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

应有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

解得－6≤a≤2。  

(2)当x∈[－2,2 时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a。

分以下三种情况讨论：

①当－≤－2，即a≥4时，g(x)在[－2,2 上单调递增，g(x)在[－2,2 上的最小值为g(－2)＝7－3a，因此a无解；

②当－≥2，即a≤－4时，g(x)在[－2,2 上单调递减，g(x)在[－2,2 上的最小值为g(2)＝7＋a，因此解得－7≤a≤－4；

③－2＜－＜2，即－4＜a＜4时，g(x)在[－2,2 上的最小值为g＝－－a＋3，

因此解得－4＜a≤2。

综上所述，实数a的取值范围是－7≤a≤2。

【提分秘籍】

恒成立问题及二次不等式恒成立的条件

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数。一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。

(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。

【举一反三】

对任意a∈[－1,1 ，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围。

热点题型三   一元二次不等式的实际应用 

例3．某商品2018年的价格为8元/件，年销量是a件。现经销商计划在2019年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件。经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为 ，该商品的成本价为3元/件。

(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；

(2)设 ＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20 ?

【解析】(1)设该商品价格下降后为x元/件，

则由题意可知年销量增加到件，

故经销商的年收益y＝(x－3)，5.5≤x≤7.5。

(2)当 ＝2a时，依题意有(x－3)≥(8－3)a×(1＋20 )，

化简得≥0，解得x≥6或4<x≤5。

又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，  

即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20 。

【提分秘籍】

构建不等式模型解决实际问题

不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解。

【举一反三】

某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆。本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量。

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

1.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是   ▲   .

【答案】30

【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.

2.【2017山东，文】若直线 过点（1,2）,则2a+b的最小值为         .

【答案】8

1.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（    ）

（A）4（B）9（C）10（D）12

【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，点A（3，1）到原点距离最大，所以，选C.

1.【2015高考广东，文11】不等式的解集为          ．（用区间表示）

【答案】

【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．

2．（2014·全国卷）设集合M＝{ 2－3x－4<0}，N＝{x 0≤x≤5}，则M∩N＝(　　)

A．(0，4      B．[0，4) 

C．[－1， 0)  D．(－1，0    

【答案】B　

【解析】因为M＝{ 2－3x－4<0}＝{x －1<x<4}，N＝{x 0≤x≤5}，所以M∩N＝{x －1<x<4}∩{0≤x≤5}＝{x 0≤x<4}．  

3．（2014·新课标全国卷Ⅱ  设函数f(x)＝sin，若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0) 2＜m2，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【答案】C　

4．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x<－1或x>，则f(10x)>0的解集为(　　)

A．{ <－1或x>－lg 2} 

B．{x －1<x<－lg 2}          

C．{ >－lg 2} 

D．{ <－lg 2}

【答案】D　

【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<，故－1<10x<，解得x<－lg 2.

5．（2013·广东卷）不等式x2＋x－2<0的解集为________．

【答案】{x －2<x<1}　

【解析】x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)<0，解得－2<x<1.故不等式的解集是{x －2<x<1}．

6．（2013·四川卷）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

【答案】(－7，3)　

【解析】当x＋2≥0时，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)＝x2－4，由f(x＋2)＜5，得x2－4＜5，即x2＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，于是－7＜x＜－2也满足不等式．  

7．(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若 f(x) ≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0   B．(－∞，1

C．[－2,1       D．[－2,0

【答案】D