2019届二轮复习(一)选择题的解法学案（全国通用）

(一)选择题的解法

选择题是高考试题的三大题型之一，浙江卷10个选择题．该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.

方法一　直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

【例1】 若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)

A．y＝sin x    B．y＝ln x

C．y＝ex    D．y＝x3

解析　对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝(x＞0)恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.

答案　A

探究提高　直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．

【训练1】 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)

A．6   B．7   C．8   D．9

解析　由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故＋＝2＝(－4，0)．设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.

答案　B

方法二　特例法

从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题．

【例2】 (1)如图，

在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)

A．3∶1  　　　　B．2∶1 C．4∶1  　　　　D.∶1

(2)已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时，一定有(　　)

A．f(x)＜－1    B．－1＜f(x)＜0

C．f(x)＞1    D．0＜f(x)＜1

解析　(1)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝.

(2)取特殊函数．

设f(x)＝2x，显然满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)(即2x＋y＝2x·2y)，且满足x＞0时，f(x)＞1，根据指数函数的性质，当x＜0时，0＜2x＜1，即0＜f(x)＜1.

答案　(1)B　(2)D

探究提高　特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．

【训练2】 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(　　)

A．130   B．170   C．210   D．260

解析　取m＝1，依题意a1＝30，a1＋a2＝100，则a2＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故S3＝210.

答案　C

方法三　排除法

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．

【例3】 (1)(2016·浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R(　　)

A．若f(a)≤|b|，则a≤b  B．若f(a)≤2b，则a≤b

C．若f(a)≥|b|，则a≥b  D．若f(a)≥2b，则a≥b

(2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)

A.   B．[0，1] C.   D．[1，＋∞)

解析　(1)∵|x|＝∴根据题意可取f(x)＝下面利用特值法验证选项．

当a＝1，b＝－3时可排除选项A，

当a＝－5，b＝2时可排除选项C，D.故选B.

(2)当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.

答案　(1)B　(2)C

探究提高　(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个．

(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项．

(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除．

(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的．

(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断．

【训练3】 (1)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是(　　)

A．0＜a≤1    B．a＜1

C．a≤1    D．0＜a≤1或a＜0

(2)已知f(x)＝x2＋sin，则f′(x)的图象是(　　)

解析　(1)当a＝0时，x＝－，故排除A、D.当a＝1时，

x＝－1，排除B.

(2)f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，故f′(x)＝′＝x－sin x，记g(x)＝f′(x)，其定义域为R，且g(－x)＝(－x)－sin(－x)＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以排除B，D两项．g′(x)＝－cos x，显然当x∈时，g′(x)＜0，g(x)在上单调递减，故排除C.选A.

答案　(1)C　(2)A

方法四　数形结合法

根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．

【例4】 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)

A．0   B．1   C．2   D．3

解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示：

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.

答案　C

探究提高　图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果．运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择．

【训练4】 (2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9   B．8   C．5   D．4

解析　法一　

由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.

法二　根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

答案　A

方法五　估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．

【例5】 已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于(　　)

A.   B.   C．－   D．5

解析　由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m一定为确定的值进而推知tan 也是一确定的值，又＜θ＜π，所以＜＜，故tan ＞1.所以D正确．

答案　D

探究提高　估算法的应用技巧：

估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．

【训练5】 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　)

A．1  B. 

C.  D.

解析　由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为[1，]，不可能等于.

答案　C

1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法，但大部分选择题的解法是直接法．在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．

2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．

3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．