2020年湖北省十堰市中考数学试卷 解析版

2020年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．
1．（3分）的倒数是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）

A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．四棱柱
3．（3分）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝130°，则∠BOD＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a6÷a3＝a2
C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量双
1
2
5
11
7
3
1
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（　　）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
6．（3分）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（　　）
A．＝+1 B．＝﹣1
C．＝+2 D．＝﹣2
8．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（　　）

A．2 B．4 C． D．2
9．（3分）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20
10．（3分）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（　　）

A． B．3 C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x+2y＝3，则1+2x+4y＝　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为　 　．

13．（3分）某校即将举行30周年校庆，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为　 　．

14．（3分）对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝　 　．
15．（3分）如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝　 　．

16．（3分）如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为　 　．

三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+20200．
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣3，b＝3．
19．（7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°＝0.26）？

20．（7分）某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．
（1）小文诵读《长征》的概率是　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
22．（8分）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．

23．（10分）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m与x的关系如图所示．
（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为　 　，x的取值范围为　 　；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数．

24．（10分）如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F．
（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为　 　；
（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂足为点G．当∠ABC的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG＝∠BAE，BC＝6，直接写出AB的长．

25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2020年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．
1．【解答】解：的倒数是4
故选：A．
2．【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
故选：B．
3．【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝50°．
故选：C．
4．【解答】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
5．【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：C．
6．【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
7．【解答】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，
∴一周后每周生产1.5x万个口罩，
依题意，得：＝+1．
故选：A．
8．【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴CE＝BE，
在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，
∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，
∴OC﹣1＝OC，
∴OC＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝2．
故选：D．

9．【解答】解：根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：2n（1+n），若2n（1+n）＝396，解得n不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：n2﹣1，若n2﹣1＝396，解得n不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：2n﹣1，若2n﹣1＝396，解得n不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：n（n+4），若n（n+4）＝396，解得n＝18，或n＝﹣22，舍去
故选：B．
10．【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，
∴∠COM＝∠ODN，
∵∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△COM∽△ODN，
∴，
∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，
∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵x+2y＝3，
∴2（x+2y）＝2x+4y＝2×3＝6，
∴1+2x+4y＝1+6＝7，
故答案为：7．
12．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，
∵AB+BD+AD＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．
故答案为：19．
13．【解答】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的22%，
∴样本容量为：44÷22%＝200（人），
∴赞成方案B的人数占比为：，
∴该校学生赞成方案B的人数为：3000×60%＝1800（人），
故答案为：1800人．
14．【解答】解：∵m*n＝（m+2）2﹣2n，
∴2*a＝（2+2）2﹣2a＝16﹣2a，4*（﹣3）＝（4+2）2﹣2×（﹣3）＝42，
∵2*a＝4*（﹣3），
∴16﹣2a＝42，
解得a＝﹣13，
故答案为：﹣13．
15．【解答】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，
∵BC为直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，
故CD＝DB＝DA，
∴D点为中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC＝BC＝x，
则S扇ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，
其中，
，
故：，
求解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）
故答案：2．

16．【解答】解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，

∵△CDE和△ABC是等边三角形，
∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，
∴∠ECB＝∠DCA，
在△ECB和△DCA中，，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE＝AD，
∵DE＝CD＝6，BD＝8，
∴在△BDE中，BD﹣DE＜BE＜BD+DE，
即8﹣6＜BE＜8+6，
∴2＜BE＜14，
∴2＜AD＜14．
∴则AD的最大值与最小值的差为14﹣2＝12．
故答案为：12．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．【解答】解：
＝2﹣2+1
＝1．
18．【解答】解：原式＝1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝﹣，
当a＝﹣3，b＝3时，原式＝﹣＝﹣．
19．【解答】解：在Rt△ABC中，
∵cosα＝，
∴AC＝AB•cosα，
当α＝50°时，AC＝AB•cosα≈6×0.64≈3.84m；
当α＝75°时，AC＝AB•cosα≈6×0.26≈1.56m；
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，
故当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．
20．【解答】解：（1）P（小文诵读《长征》）＝；
故答案为：；

（2）记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A、B、C，
列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小文和小明诵读同一种读本的有3种结果，
∴小文和小明诵读同一种读本的概率为．
21．【解答】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
22．【解答】解：（1）证明：连接OC，如下图所示：
∵CD为圆O的切线，∴∠OCD＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
又OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB．
（2）四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC＝180°，
又∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠B，
又∠B+∠CAB＝90°，
∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠CAB＝∠DCE，
又∠CAB＝∠CAE，
∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE+DE＝3x，
∴，∴CD2＝AD•DE＝3x2，
∴，
在Rt△ACD中，，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，且OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC＝2∠EAC＝60°，
∴△EOC为等边三角形，
∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，
即EA＝AO＝OC＝CE，
∴四边形EAOC为菱形．


23．【解答】解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），
故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；
（2）设当天的销售利润为w元，
则当1≤x≤6时，
w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，
∵800＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800．
当6＜x≤12时，
设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：
，
解得：，
∴m与x的关系式为：m＝50x+500，
∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）
＝﹣100x2+400x+14000
＝﹣100（x﹣2）2+14400．
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，
∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，
∵12800＞11900，
∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元，
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．
（3）由（2）可得，
1≤x≤6时，800x+8000＜10800，
解得：x＜3.5
则第1﹣3天当天利润低于10800元，
当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，
解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，
∴第9﹣12天当天利润低于10800元，
故当天销售利润低于10800元的天数有7天．
24．【解答】解：（1）延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图1所示，
∵△ABC≌△EBD，
∴DE＝AC，BD＝BC，
∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠EDB＝90°，
∴∠ADF+∠FDE＝90°，
∴∠ACD＝∠FDE，
∵FK+DF＝DC+DF，
∴DK＝CF，
在△ACF和△EDK中，，
∴△ACF≌△EDK（SAS），
∴KE＝AF，∠K＝∠AFC，
又∠AFC＝∠KFE，
∴∠K＝∠KFE
∴KE＝EF
∴AF＝EF，
故AF与EF的数量关系为：AF＝EF．
故答案为：AF＝EF；

（2）仍旧成立，理由如下：
延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图2所示，
设BD延长线DM交AE于M点，
∵△ABC≌△EBD，
∴DE＝AC，BD＝BC，
∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠MDF，
∴∠MDF＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠EDB＝90°，
∴∠MDF+∠FDE＝90°，
∴∠ACD＝∠FDE，
∵FK+DF＝DC+DF，
∴DK＝CF，
在△ACF和△EDK中，，
∴△ACF≌△EDK（SAS），
∴KE＝AF，∠K＝∠AFC，
又∠AFC＝∠KFE，
∴∠K＝∠KFE，
∴KE＝EF，
∴AF＝EF，
故AF与EF的数量关系为：AF＝EF．

（3）如图3所示，延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，过点E作EG⊥BC交CB的延长线于G，
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠EBG，
∴∠BEA＝∠EBG，
∴AE∥CG，
∴∠AEG+∠G＝180°，
∴∠AEG＝90°，
∴∠ACG＝∠G＝∠AEG＝90°，
∴四边形AEGC为矩形，
∴AC＝EG，且AB＝BE，
∴Rt△ACB≌Rt△EGB（HL），
∴BG＝BC＝6，∠ABC＝∠EBG，
又∵ED＝AC＝EG，且EB＝EB，
∴Rt△EDB≌Rt△EGB（HL），
∴DB＝GB＝6，∠EBG＝∠ABE，
∴∠ABC＝∠ABE＝∠EBG＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB＝2BC＝12．



25．【解答】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当时，y＝4，
∴D（1，4）；

（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，
∴x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0）．
设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，3），B（3，0）代入，得，
解得，
∴y＝﹣x+3．
∵EF⊥CB．
设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，
∴y＝x﹣m2+m+3．
∴．
∴．
把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，
∴G（m，﹣m+3）．
∵BG＝CF．
∴BG2＝CF2，即．
解得m＝2或m＝﹣3．
∵点E是BC上方抛物线上的点，
∴m＝﹣3，舍去．
∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，
∴；

（3）如图2，过点A作AN⊥HB，
∵点D（1，4），B（3，0），
∴yDB＝﹣2x+6．
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴yAC＝3x+3，
∴，
∴．
设，把（﹣1，0）代入，得b＝，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∴AN＝HN．
∴∠H＝45°．
设点p（n，﹣n2+2n+3）．
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，
∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．
若∠OPB＝∠AHB＝45°
在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，
∴△OPS∽△OPB．
∴．
∴OP2＝OB•OS．
∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+2n+3）．
∴n＝0或．
∴P1（0，3），，．