2023年湖北省十堰市中考数学试卷（含解析）

2023年湖北省十堰市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(    )

A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小
C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变

6.  为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个如果设每个足球的价格为元，那么可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图所示，有一天桥高为米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为参考数据：，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.  如图，已知点为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  年月日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为万千米的月球，将用科学记数法表示为______ ．

12.  若，，则的值是______ ．

13.  一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ______ ．

14.  用火柴棍拼成如图图案，其中第个图案由个小等边三角形围成个小菱形，第个图案由个小等边三角形围成个小菱形，，若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为______ 用含的式子表示

15.  如图，在菱形中，点，，，分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于，，则 ______ ．

16.  在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块其中，，分别，，的中点，，分别为，的中点，小明将这四块纸，重新组合拼成四边形相互不重叠，不留空隙，则所能拼成的四边形中周长的最小值为______ ，最大值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
化简：．

19.  本小题分
市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：分、分、分、分满分为分依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：

请根据图表信息解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
补齐乙队成绩条形统计图；
甲队成绩的中位数为______ ，乙队成绩的中位数为______ ；
分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
 

20.  本小题分
如图，▱的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
请说明当▱的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？

21.  本小题分
函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则 ______ ；
下列关于函数的性质：图象关于点对称；随的增大而减小；图象关于直线对称；的取值范围为其中说法正确的是______ 填写序号；
根据中的值，写出不等式的解集．

22.  本小题分
如图，在中，，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，，于点，，，且点是弧的中点．
求证：是的切线；
若，求图中阴影部分的面积结果保留．

23.  本小题分
“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是元，并规定每盒售价不得少于元，日销售量不低于盒根据以往销售经验发现，当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒设每盒售价为元，日销售量为盒．
当时， ______ ；
当每盒售价定为多少元时，日销售利润元最大？最大利润是多少？
小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大”小红说：“当日销售利润不低于元时，每盒售价的范围为”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．

24.  本小题分
过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点．
如图，若，则 ______ ；
如图，请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
在绕点转动的过程中，设，，请直接用含，的式子表示的长．

 

25.  本小题分
已知抛物线过点和点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，连接，，点在线段上与点，不重合，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的倍时，求点的坐标；
如图，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点与点，不重合，使得，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
根据倒数：乘积是的两数互为倒数，进而得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，故不符合题意；
B.圆锥的三视图主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C.圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D.球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：．
根据三视图的概念做出判断即可．
本题主要考查简单的几何体的三视图，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的加减、完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的加减、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有种情况，其中有种为向上一面的点数偶数，
故其概率是．
故选：．
由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有到的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：左扭动矩形框架，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，不符合题意；
此时对角线减小，对角线增大，不合题意．
边上的高减小，故面积变小，符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，不符合题意．
故选：．
由题意可知左扭动矩形框架，四边形变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，对角线减小，但是边上的高减小，故面积变小，故选C．
本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每个足球的价格为元，可列方程为：
．
故选：．
直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
米，
在中，，，
，
，
，
米，
的长度约为米，
故选：．
由，，得，则米，由，，得，则，所以，则米，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，底面圆的直径，
故底面周长等于，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，
解得，
所以展开图中，
因为半径，，
故三角形为等边三角形，
又为的中点，
所以，在直角三角形中，，，
根据勾股定理求得，
所以蚂蚁爬行的最短距离为．
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
 

9.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，
，
为等边三角形，
，
如图，作于点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
首先得出≌，进而得出为等边三角形，由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形，垂径定理等知识，得出，的长是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，整理得，
解得，，
直线与抛物线的交点的横坐标为，，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
把代入，解得，
若，，则，，
，
故选：．
求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可．
本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由题意可得，，，由平角的定义可求得，再由三角形的内角和可求得，利用对顶角相等得，再利用三角形的内角和即可求．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．
 

14.【答案】 

【解析】解：第个图案所需要的火柴棍的根数为：，
第个图案所需要的火柴棍的根数为：，
第个图案所需要的火柴棍的根数为：，
，
第个图案需要火柴棍的根数为：．
故答案为：．
第个图案所需要的火柴棍的根数为：，第个图案所需要的火柴棍的根数为：，第个图案所需要的火柴棍的根数为：，，据此可求得第个图案所需要的火柴棍的根数．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积等于，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
同理可证∽，
，
，
即，
，
故答案为：．
连接交于点，先根据菱形的面积公式计算出对角线的长，再证∽，得出，同理可证∽，得出，两式相加，即可求出的值．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出是此题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，

，，，，
四边形周长；
如图，

，
四边形周长为；
故答案为：，．
根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：由题意得，；
乙队人数为：人，
故．
故答案为：；；
乙队分人数为：人，
补齐乙队成绩条形统计图如下：

甲队成绩的中位数为：；
乙队成绩的中位数为：；
故答案为：；；
甲队成绩的平均数为：；
乙队成绩的平均数为：；
因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
用分别减去其它三部分的度数可得的值；根据乙队分的人数和它所占比例可得乙队人数，再根据两队人数相等可得的值；
先求出分的人数，再补齐乙队成绩条形统计图；
根据中位数的定义解答即可；
根据加权平均数公式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：四边形为平行四边形．
理由：四边形为平行四边形，
，，
以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，
，，
四边形为平行四边形；
当，时，四边形为正方形．
，
，
，，，
，
四边形为平行四边形，
四边形为正方形． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，，则可得出结论；
由正方形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则；
故答案为：；
函数向左平移个单位得到函数的图象，
图象关于点对称，正确；
随的增大而减小，错误；
图象关于直线对称，错误；
的取值范围为，正确．
其中说法正确的是；
故答案为：；
观察图象，不等式的解集为或．
利用左加右减的平移规律即可得到结论；
根据平移的性质结合函数的性质判断即可；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接、，如图：

，，
，
，
，
，
点是弧的中点．
，

，
是半径，
是的切线，
解：，，
是等腰三角形，
设，则，
，
，
，
解得，
． 

【解析】连接、，证出，即可得出结论，
根据，分别求出和扇形的面积即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
即每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式是，
当时，，，
故答案为：．
由题意可得，
，
由题可知：每盒售价不得少于元，日销售量不低于盒，
，
即，解得．
当时，取得最大值，此时，
答：当每盒售价定为元时，每天销售的利润元最大，最大利润是元；
小强：，
设日销售额为元，
，
当时，值最大，此时，
当时，值最大，此时，
小强正确．
小红：当日销售利润不低于元时，
即，
，解得：，
，
当日销售利润不低于元时，．
故小红错误，当日销售利润不低于元时，．
根据每盒售价每提高元，每天要少卖出盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可；
根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案；
根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．
本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际应用，考查学生对一次函数和不等式综合运用的能力，解决问题的关键是弄清题意，求出的范围，在有效范围内求最值是本题容易出错的地方．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

点关于直线的对称点为点，
，关于对称，，，
四边形是正方形，
，
，
．
故答案为：；
结论：．
理由：如图，连接，，，．

由轴对称知，，，，
而，
．
，
，
在中，，
在中，，
，即；

，，
，
，
．
如图，当点在，之间时，，

如图，当点在，之间时，

如图，当点在，之间时，．

如图，连接，，由对称知，，由四边形是正方形得，所以，从而；
如图，连接，，，，交于点，由轴对称知，，，，可证得，由勾股定理得，中，，中，，从而；
由勾股定理，分情况讨论：当点在，之间时，；当点在，之间时，点在，之间时，．
本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线过点和点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
抛物线与轴交于点，
当时，，
，则，
，
轴，，
点是的中点，
，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
如图，过点作交的延长线于，
则，
，

，，
，
是等腰直角三角形，
设，则，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
即，
，
，
即，
，
≌，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
当面积是面积的倍时，
即，
，
在中，，
，
，
解得：或舍去，
；
，
又，
，
∽，
，
设交轴于点，过点作轴于点，如图，

，
，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
，
，
，
设，则，
，
整理得：，
点在线段上与点，不重合，
，
，
当时，取得的最大值为，
． 

【解析】运用待定系数法将点、点坐标代入解析式可求解；
用待定系数法求得直线的解析式为，可证是等腰直角三角形，设，通过证明∽，相似三角形的性质得出，则，可证≌，由面积关系列出方程可求解；
通过证明∽，可得，由待定系数法可求的解析式，联立方程组可求点坐标，由勾股定理可求的长，由二次函数的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．