□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用 学案
展开□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用
一、必备公式
1．椭圆有关知识：
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
(2)椭圆标准方程和几何性质
标准方程 | ＋＝1(a>b>0) | ＋＝1(a>b>0) | |
图形 | |||
性 质 | 范围 | －a≤x≤a，－b≤y≤b | －b≤x≤b，－a≤y≤a |
对称性 | 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 | ||
顶点 | A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) | A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) | |
轴 | 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b | ||
焦距 | |F1F2|＝2c | ||
离心率 | e＝∈(0,1) | ||
a，b，c的关系 | a2＝b2＋c2 | ||
2．双曲线有关知识
(1)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
(2)双曲线标准方程和几何性质
标准方程 | －＝1 (a>0，b>0) | －＝1 (a>0，b>0) | |
图形 | |||
性质 | 范围 | x≥a或x≤－a，y∈R | x∈R，y≤－a或y≥a |
对称性 | 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 | ||
顶点 | A1(－a,0)，A2(a,0) | A1(0，－a)，A2(0，a) | |
渐近线 | y＝±x | y＝±x | |
离心率 | e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ | ||
实虚轴 | 实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b； | ||
a、b、c的关系 | c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) | ||
3．抛物线有关知识：
(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
(2)抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 | y2＝2px (p>0) | y2＝－2px(p>0) | x2＝2py(p>0) | x2＝－2py(p>0) |
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 | ||||
图形 | ||||
顶点 | O(0,0) | |||
对称轴 | y＝0 | x＝0 | ||
焦点 | F | F | F | F |
离心率 | e＝1 | |||
准线方程 | x＝－ | x＝ | y＝－ | y＝ |
范围 | x≥0，y∈R | x≤0，y∈R | y≥0，x∈R | y≤0，x∈R |
开口方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 |
4．重要公式
(1)弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)韦达定理：x1＋x2＝－，x1x2＝.
二、必备结论
1．轨迹类型：方程＋＝1，当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．
2．椭圆结论：
(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan ；
②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a； ③通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)； 图1
(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；
②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；
③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－.
(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系： 图2
①点P在椭圆内⇔＋<1. ②点P在椭圆上⇔＋＝1. ③点P在椭圆外⇔＋>1.
(4)椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
3．双曲线结论：
(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
(2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
图3
4．抛物线结论：
如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)；③＋＝；
(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4
(3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
三、必备方法
1．直线与圆锥曲线相关问题：
(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：
①Δ＞0⇔有两个交点(相交)； ②Δ＝0⇔有一个交点(相切)； ③Δ＜0⇔没有交点(相离)．
(2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝·| x1－x2|＝·| y1－y2|.
(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系.
2．与角有关的关联性问题：①直角(垂直)⇔数量积a·b＝0或斜率k1·k2＝－1或余弦定理cos θ＝0或点共圆；
②锐角⇔a·b＞0或余弦定理cos θ＞0； ③钝角⇔a·b＜0或余弦定理cos θ＜0；
3．巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论．
4．巧设共渐近线双曲线：与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ (λ≠0)．
四、必备细节
1．易混淆：①椭圆a2＝b2＋c2，而双曲线c2＝a2＋b2； ②双曲线离心率e∈(1,＋∞)，而椭圆离心率e∈(0,1)．
2．易忽视：①椭圆、双曲线的焦点位置； ②抛物线为化成标准方程； ③设直线未讨论斜率存在性；
④解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式Δ≥0这一隐含条件．
