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    □高考必备公式、结论、方法、细节三:数列与不等式 学案
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    □高考必备公式、结论、方法、细节三:数列与不等式 学案01
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    □高考必备公式、结论、方法、细节三:数列与不等式 学案

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    高考必备公式、结论、方法、细节数列与不等式

    一、必备公式

    1通项an与前n项和Sn的关系是an

     

    2.等差数列有关公式

    (1)通项公式ana1(n1)d     (2)n项和公式:Snna1d.

     

    3.等比数列有关公式

    (1)通项公式:ana1qn1      (2)n项和公式:Sn

    4基本不等式

    (1)基本不等式成立的条件:a>0b>0     (2)等号成立的条件:当且仅当ab.

    (3)基本不等式的变形:ab2,常用于求和的最小值;ab2,常用于求积的最大值

     

    5常用不等式

    (1)重要不等式:a2b2 2ab(abR)   (2)重要不等式链:

     

    二、必备结论

    1等差数列常用结论

    {an}为等差数列,公差为dn项和Sn,则有:

    (1)下标意识:pqmn,则apaqaman,特别地,pq2k,则apaq2ak

    (2)隔项等差:数列akakmak2m(kmN*)是公差为md的等差数列

    (3)分段等差:数列SnS2nSnS3nS2n是公差为nd的等差数列

    (4)数列{}是公差为的等差数列,其通项公式n

     

    2等差数列与函数关系

    (1)经整理andn(a1d),则数列{an}是等差数列 通项an为一次函数:即anknb (ab为常数)

    (2)经整理Snn2n数列{an}是等差数列Sn为无常数项的二次函数:即SnAn2Bn(AB为常数)

     

    3等比数列常用结论

    {an}为等比数列,公比为qn项和Sn,则有:

    (1)下标意识:pqmn,则ap·aqam·an,特别地,pq2k,则ap·aqak2

    (2)隔项等差:数列anankan2kan3k为等比数列,公比为qk.

    (3)分段等比:数列SnS2nSnS3nS2n仍成等比数列,其公比为__qn__.

     

    4利用基本不等式求最值问题已知x>0y>0,则

    (1)如果xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值是2(简记:积定和最小)

    (2)如果xy是定值q,那么当且仅当xy时,xy有最大值是(简记:和定积最大)

    注意:使用基本不等式求最值,一正”“二定”“三相等三个条件缺一不可.

     

    三、必备方法

    1数列通项公式的几种求法:

    (1)anSn的关系:递推作差,具体步骤如下

    先利用a1S1求出a1  利用anSnSn1(n2)an  检验a1否符合an的表达式.

    (2)累加法:形如anan1f(n)anan1f(n),用累加法求an

    (3)累乘法:形如anan1·f(n)f(n),用累加法求an

    (4)配凑构造等比数列:形如an1AanB(A0A1)配凑法求an,具体步骤如下:

    设:an1xA(anx)  求:x  配:an1A(an)

    (5)导数构造等差数列:通常有以下两种情况:

    形如an1 (AB为常数)等号两边同时取数,即可构造{}等差;

    形如an1anAan1·an0,等号两边同时除以an1·an,即可构造{}等差.

     

    2数列n项和的几种求法:

    (1)分组求和法:形如an等差±等比±其它数列,用分组求和法,分别求和而后相加减

    (2)裂项相消法:常用的裂项公式有:

         

       ××[]

    (3)错位相减法:形如an等差×等比,用错位相减法求解.

    (4)并项求和法形如an(1)n·f(n)并项求和法求解,即列举前几项后,采用两项合并求解.

     

    3.等差数列的题型和常用方法:

    (1)等差数列判定:定义法:欲证等差,直接作差,即证an1an定值;

    等差中项法:即证2an1anan2  函数结论法:即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.

    (2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:

    函数法:利用等差数列前n项和Snan2bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.

    正负分界法即通过an0(0)找到an正负分界处,判断得出最大的n项和Sn,具体如下:

    .a1>0d<0满足S m最大 .a1<0d>0满足时, S m最小.

     

    4.等数列的判定方法:

    (1)定义法:欲证等比,直接作比,即证q(q0的常数)数列{an}是等比数列;

    (2)等比中项法:即证aan·an2(anan1an2≠0nN*)数列{an}是等比数列.

     

    5不等式恒成立的常用方法

    (1)形如f(x)0xR上恒成立:用判别式法

    注意:讨论二次项系数是否等于0  要把不等式化成00的形式

    (2)形如f(x)mx[ab]恒成立::分参法,f(x)minmf(x)maxm 次选:讨论图像法

    (3)形如f(x)0参数m[ab] 上恒成立:用转换变量法,即把f(x)看成函数g(m)

     

    6基本不等式求最值常用方法:

    (1)1字代换法   (2)配凑法:即配凑积或和为定值的形式   (3)解不等式法;

     

    7线性规划是常见的目标函数:

    (1)截距型:形如zaxby,通常转化为斜截式:y=-x,通过求截距的最值间接求出z的最值.

    (2)距离型:形如z(xa)2(yb)2.  (3)斜率型:形如z.

     

    四、必备细节

    1.由anSnSn1求得的an是从n2开始的,一定要对n1时的情况进行验证.

    2.在运用等比数列Sn时,必须注意对q1q≠1分类讨论,防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.

    3.使用基本不等式求最值,一正”“二定”“三相等三个条件缺一不可.

     

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