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    □高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量 学案
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    □高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量 学案01
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    □高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量 学案

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    高考必备公式、结论、方法、细节三角函数与平面向量

    一、必备公式

    1.三角函数

    (1)同角三角函数

    ①平方关系: sin2 αcos2 α1 ( 1字替换) ②商数关系:  tan α  (切弦互化)

    (2)和差倍角关系

    cos(α±β)_____ cos αcos βsin αsin β___   sin(α±β)_____ sin αcos β±cos αsin β____

    tan(α±β)                 sin 2α____2sin αcos α__

    cos 2α        cos2αsin2α             12sin2α         2cos2α1   

    tan 2α__________________

    (3)辅助角公式 asin xbcos xsin(xφ)   其中,   tanφ     |φ|      a0  

     

    2.正余弦定理

    (1)正弦定理2R,其中R 外接圆半径

    注意:正弦定理变式与性质:

    化正弦:a2R sin Ab2R sin Bc2R sin C 正弦化边:sin Asin Bsin C

    abcsin_Asin_Bsin_C      2R 

    (2)余弦定理a2b2c22bccos_A  b2c2a22cacos_B  c2a2b22abcos_C

    注意:变式:cos A   cos B   cos C

    (3)三角形面积 SABCabsin Cbcsin Aacsin B   SABC(abcr(r是切圆的半径)

     

    3.平面向量

    (1)两点间向量表示:A(x1y1)B(x2y­2),则   (x2x1y2y1)  

    (2)向量运算公式:a(x1y1)b(x2y2) ,则:

    a±b    (x1±x2y1±y2)         λa      (λx1λy1)      

    a·b  |a||b|cos θ        x1x2y1y2      |a|                    

    cosab〉=          ab方向上的投影为: |a|cos θ        

    (3)平行与垂直定理:

    共线定理:ab___ aλb______ x1y2x2y1 _ 垂直定理:ab___a·b0_____ x1x2y1y20_.

     

    二、必备结论

    1.三角函数符号判断口诀:一正二正弦,三切四余弦

    2诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限;   原则:负化正、大化小、小化锐;

    3函数ytan x的定义域是:{x|xRxkπkZ}

     

    4形如函数yAsin(ωxφ)的图像及性质

    (1)图像变换:

    ①相位变换:ysin xysin(xφ)规则是左加(φ0)或右减(φ0)| φ|个单位;

    周期变换:ysin (xφ)ysin(ωxφ)的规则是:纵坐标不变,将横坐标缩小(伸长)为原来的||倍;

    振幅变换: ysin (ωxφ)yAsin(ωxφ) 的规则是:横坐标不变,将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍;

    注意:ysin ωx→ysin(ωxφ)变换规则是:先提取后者x的系数ω,然后在左()平移||个单位;

    (2)基本性质:①定义域:解三角函数不等式用数形结合  ②值域:由内向外 ③单调性:同增异减

    (3)周期公式:yAsin(ωxφ)(yAcos(ωxφ))的最小正周期T  y|Asin(ωxφ)|的周期T.

    (3)对称性: 换元思想,将yAsin(ωxφ)中的ωxφ看成ysin x中的x,采用整体代入求解.

    对称轴:最值处,sin(ωxφ) 1,则ωxφkπ(kZ),可求得对称轴方程;

    对称中心:零点处,sin(ωxφ) 0ωxφkπ(kZ),可求得对称中心的横坐标;

    (4)奇偶性:利用反向诱导法理解掌握

    函数yAsin(ωxφ)xR是奇函数φkπ(kZ);函数yAsin(ωxφ)xR是偶函数φkπ(kZ)

    函数yAcos(ωxφ)xR是奇函数φkπ(kZ);函数yAcos(ωxφ)xR是偶函数φkπ(kZ)

    函数yAtan(ωxφ)xR是奇函数φkπ(kZ)

     

    5.平面向量

    是与a同方向的单位向量.

    共线第二定理:ABC三点共线xyxy1

     

    6.平面向量与三角形的心:0OABC的重心(中线交点)

    ···OABC的垂心(高线交点)

    若动点P满足λ,则点P的轨迹一定通过ABC的内心(角平分线交点)

     

    7.三角形中:sin(AB)sinCcos(AB)cosC  sin cos   cossin

    ③三角形中,任何一个角的正弦值恒大于0     a>bA>Bsin A>sin BcosAcosB

     

    、必备方法

    1.三角函数求值、化简时,常用方法有:

    (1)化简的基本原则是:①切化弦:公式tan x②降次数:公式cos2αsin2α

    (2)和积转换法:运用公式(sin θ±cos θ)21±2sin θcos θ解决sin θ±cos θsin θcos θ关系变形、转化;

    (3)巧用“1”的变换:1sin2θcos2θcos2θ(1tan2θ)sin2θtan

    (4)整角转化:运用相关角的互补、互余等特殊关系,如2α(αβ)(αβ)α(αβ)ββ

     

    2.换元法:即整体思想,对于函数yAsin(ωxφ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tωxφ,将其转化为研究ysin t的性质.

     

    3.确定yAsin(ωxφ)b(A0ω0)的步骤和方法:

    (1)观察确定Ab确定函数的最大值M和最小值m,则Ab.

    (2)通过周期公式ω:即ω.     (3)特殊点代入φ通常代入最值点零点

     

    、必备细节

    1.角度制与弧度制不可混合使用;

    2利用平方关系求值时,开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.

    3.函数yAsin(ωxφ)的值域求解由内向外,先求tωxφ的范围,再结合ysin t的图像;

    4由函数ysin x的图象变换得到yAsin(ωxφ)的图象,如先伸缩,再平移时,要把x前面的系数提取出来.

    5.平面向量:(1)相等向量具有传递性,但平行向量不一定具有传递性.(2)平行向量所在直线不一定平行

    (3)向量平移后,起终点坐标改变,但向量坐标不变

    2.两个向量的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立.

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