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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀第1课时导学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀第1课时导学案,共9页。

    第一课时 函数的奇偶性





    知识点1 函数的奇偶性


    1.奇偶性定义


    偶函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D, 如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数.


    奇函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D, 如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数.


    2.奇、偶函数的图像


    偶函数的图像关于y轴对称,反之结论也成立;


    奇函数的图像关于原点对称,反之结论也成立.


    [微思考]


    具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?


    提示 定义域关于原点对称.


    [微体验]


    思考辨析


    (1)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.( )


    (2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( )


    (3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.( )


    (4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.( )


    答案 (1)× (2)× (3)× (4)×


    知识点2 函数奇偶性的应用


    函数奇偶性与单调性的关系


    如果y=f(x)是偶函数,那么其在x>0与x<0时的单调性相反;如果y=f(x)是奇函数,那么其在x>0与x<0时的单调性相同.


    [微体验]


    1.已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则( )


    A.f(1)>f(2) B.f(1)

    C.f(1)=f(2) D.以上都有可能


    A [因为f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,


    所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(1)>f(2).]


    2.若f(x)为R上的偶函数,且f(2)=3,则f(-2)=________.


    3 [因为f(x)为R上的偶函数,所以f(-2)=f(2)=3.]











    探究一 函数奇偶性的判断


    判断下列函数的奇偶性:


    (1)f(x)=eq \f(3x,x2+3);


    (2)f(x)=|x+1|+|x-1|;


    (3)f(x)=eq \f(2x2+2x,x+1).


    解 (1)f(x)的定义域是R,


    又f(-x)=eq \f(3-x,-x2+3)=-eq \f(3x,x2+3)=-f(x),


    所以f(x)是奇函数.


    (2)f(x)的定义域是R,


    又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),[来源:ZXXK]


    所以f(x)是偶函数.


    (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.


    [方法总结]


    1.定义法判断函数的奇偶性





    2.图像法判断函数的奇偶性





    [跟踪训练1] (1)判断下列函数的奇偶性:


    ①f(x)=(x-2) eq \r(\f(2+x,2-x));


    ②f(x)=x|x|.


    解 ①由eq \f(2+x,2-x)≥0,得定义域为[-2,2),不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.


    ②函数的定义域为R,因为f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.


    (2)已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+2x+3,x<0,,0,x=0,,-x2+2x-3,x>0,))试判断函数f(x)的奇偶性.


    解 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.


    当x<0时,-x>0,


    f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3


    =-(x2+2x+3)=-f(x);


    当x=0时,-x=0,f(-x)=f(0)=0=-f(x);


    当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3


    =x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).


    所以f(x)是R上的奇函数.


    探究二 奇、偶函数的图像及应用


    如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图像,试比较f(1)与f(3)的大小.





    解 方法一:因为函数f(x)是偶函数,


    所以其图像关于y轴对称,补全图像如下图.





    由图像可知f(1)<f(3).


    方法二:由图像可知f(-1)<f(-3).


    又函数y=f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).所以f(1)<f(3).


    [变式探究] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢?


    解 方法一:因为函数f(x)是奇函数,


    所以其图像关于原点对称,补全图像如下图.


    由图像可知f(1)>f(3).





    方法二:由图像可知f(-1)<f(-3).


    又函数y=f(x)是奇函数,


    所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3).


    所以-f(1)<-f(3).所以f(1)>f(3).


    [方法总结]


    奇、偶函数图像对称性的两大应用


    应用一:巧作函数图像.


    (1)奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于y轴对称.


    (2)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像,画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.


    应用二:求函数最值、单调性问题.


    函数的奇偶性反映到图像上是图像的对称性,可以利用图像解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化解题过程.


    探究三 函数奇偶性的简单应用


    (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[2b-5,2b-3]上的奇函数,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )


    A.eq \f(1,3) B.eq \f(9,8)


    C.1 D.无法确定


    (2)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=________.[来源:Z§xx§k.Cm]


    (1)B (2)7 [(1)奇函数定义域关于原点对称,所以2b-5+2b-3=0,即b=2.又f(x)是奇函数,故f(-x)+f(x)=0,


    所以2ax2+2c=0对任意x都成立,则a=c=0,


    所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(1,8)+2×eq \f(1,2)=eq \f(1,8)+1=eq \f(9,8).


    (2)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,


    所以f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,


    所以g(3)=5.


    又f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7.]


    [变式探究] 把本例(2)的条件“f(-3)=-3”换为“f(d)=10”,求f(-d)的值.


    解 令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,易知g(x)为奇函数,所以f(d)=g(d)+2=10,即g(d)=8所以f(-d)=g(-d)+2=-g(d)+2=-8+2=-6.


    [方法总结]


    利用奇偶性求参数的常见类型及策略


    (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a, b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.


    (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.


    [跟踪训练2] (1)函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则a=________.


    0 [因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),


    即ax2-2x=-ax2-2x. 由对应项系数相等,得a=0.]


    (2)已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+x,x≤0,,ax2+bx,x>0))为奇函数,则a+b=________.


    0 [当x>0时,-x<0,由题意得f(-x)=-f(x),


    所以x2-x=-ax2-bx, 解得a=-1,b=1.


    当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,故a+b=0.]














    1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.


    2.两个性质:函数为奇函数⇔它的图像关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图像关于y轴对称.


    3.函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称;函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称;函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于原点对称.





    课时作业(二十) 函数的奇偶性





    1.函数f(x)=eq \r(x)的奇偶性为( )


    A.奇函数 B.偶函数


    C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数


    D [函数f(x)=eq \r(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以此函数是非奇非偶函数.]


    2.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)+f(-1)的值为( )





    A.-2 B.2


    C.1 D.0


    A [由图知f(1)=eq \f(1,2),f(2)=eq \f(3,2),又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-eq \f(3,2)-eq \f(1,2)=-2.]


    3.已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )


    A.4 B.2


    C.1 D.0


    D [根据偶函数图像关于y轴对称知,四个交点的横坐标是两对互为相反数的数,因此它们的和为0.]


    4.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )


    A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x)


    C.f(-x)·f(x)≤0 D.eq \f(fx,f-x)=-1


    D [由于f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可推A,B,C正确,由于f(-x)可能为0,故D错误.]


    5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于( )


    A.-3 B.-1


    C.1 D.3


    A [因为f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,


    所以f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.]


    6.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.


    4 [因为f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a为偶函数,所以a-4=0,a=4.]


    7.若函数f(x)=eq \r(x2-1)+eq \r(a-x2)为偶函数且非奇函数,则实数a的取值范围是________.


    a>1 [因为函数f(x)=eq \r(x2-1)+eq \r(a-x2)为偶函数且非奇函数,所以f(-x)=f(x)且f(-x)≠-f(x).


    又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-1≥0,,a-x2≥0,))所以a≥1.


    当a=1时,函数f(x)=eq \r(x2-1)+eq \r(a-x2)为偶函数且为奇函数,故a>1.]


    8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数:①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x中奇函数为________(填序号).


    ②④ [因为f(|-x|)=f(|x|),所以①为偶函数;因为f(-x)=-f(x),令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x),所以②为奇函数;令F(x)=xf(x),则F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函数;令h(x)= f(x)+x,则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-h(x),故④是奇函数.]


    9.已知函数f(x)=x-eq \f(a,x)的图像经过点(2,1).


    (1)求a的值;


    (2)判断f(x)的奇偶性.


    解 (1)因为函数f(x)=x-eq \f(a,x)的图像经过点(2,1),所以f(2)=1,即2-eq \f(a,2)=1,解得a=2.


    (2)由(1)知f(x)=x-eq \f(2,x),其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(-x)=-x-eq \f(2,-x)=-x+eq \f(2,x)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(2,x)))=-f(x),


    所以函数f(x)是奇函数.


    10.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图像如图所示.





    (1)画出在区间[-5,0]上的图像;


    (2)写出使f(x)<0的x的取值集合.


    解 (1)如图,在[0,5]上的图像上选取5个关键点O,A,B,C,D.





    分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′,


    再用光滑曲线连接即得.


    (2)由(1)图可知,当且仅当x∈(-2,0)∪(2,5)时,f(x)<0.


    所以使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).





    1.函数f(x)=x3+eq \f(1,x)的图像关于( )


    A.原点对称 B.y轴对称


    C.y=x对称 D.y=-x对称


    A [由于f(x)是奇函数,故其图像关于原点对称.]


    2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )


    A.f(x)+|g(x)|是偶函数


    B.f(x)-|g(x)|是奇函数


    C.|f(x)|+g(x)是偶函数


    D.|f(x)|-g(x)是奇函数


    A [由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),


    由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.]


    3.已知定义域为[a-4, 2a-2]的奇函数f(x)=2 019x3-5x+b+2,则f(a)+f(b)的值为________. [来源:ZXXK]


    0 [奇函数的图像关于原点对称,所以a-4+2a-2=0,所以a=2,因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即b+2=0,故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0.]


    4.如图是函数f(x)=eq \f(1,x2+1)在区间[0,+∞)上的图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据.





    解 由题意知,f(x)的定义域为R.


    又对任意x∈R,都有f(-x)=eq \f(1,-x2+1)=eq \f(1,x2+1)=f(x),


    所以f(x)为偶函数.


    所以f(x)的图像关于y轴对称,其图像如图所示.





    5.(拓广探索)已知函数y=f(x)(x∈R)对任意实数x,y,有f(x)+f(y)=2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x+y,2)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x-y,2)))恒成立,且f(0)≠0.


    (1)求f(0)的值;


    (2)试判断函数y=f(x)(x∈R)的奇偶性.[来源:]


    解 (1)令x=y=0,所以2f(0)=2f(0)·f(0).


    所以f(0)=0或f(0)=1.


    而f(0)≠0,所以f(0)=1.


    (2)令y=-x,所以f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).


    由(1)知f(0)=1,


    所以f(-x)=f(x).


    因为f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数.





    课程标准
    学科素养
    结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
    通过对函数奇偶性的学习,提升“数学抽像”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
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