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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法优秀第1课时导学案及答案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法优秀第1课时导学案及答案,共8页。

    3.1 函数的概念与性质


    3.1.1 函数及其表示方法


    第一课时 函数的概念





    知识点 函数的概念


    1.函数定义:一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,按照对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y=f(x)与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.


    2.相关概念:x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域,所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.


    注意:对应关系也可以用其他小写英文字母如g,h等表示.


    3.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数对应的函数值都相等),则称这两个函数就是同一个函数.


    4.一个约定:在表示函数时,如果不产生歧义,函数的定义域通常省略不写,此时约定:函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.


    [微思考]


    1.任何两个集合之间都可以建立函数关系吗?


    提示 不一定,两个集合必须是非空的数集.


    2.什么样的对应可以构成函数关系?


    提示 两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系.


    [来源:Z|xx|k.Cm]





    探究一 函数关系的判断


    判断下列对应中是否是A到B的函数.


    (1)A=R,B={x|x>0},f为“取绝对值”;


    (2)A=Z,B=Z,f为“取平方”;


    (3)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如下图所示:





    (4)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如下图所示:





    解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到B的函数;


    (2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数;


    (3)集合B不是确定的数集,故不是A到B的函数;


    (4)集合A中的元素3在B中没有对应元素,且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应,故不是A到B的函数.


    [方法总结]


    判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断


    (1)A,B必须是非空实数集;


    (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;


    (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. ,


    [跟踪训练1] 对于函数y=f(x),以下说法正确的有( )


    ①y是x的函数;②对于不同的x值,y的值也不同;③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量;④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.


    A.1个 B.2个


    C.3个 D.4个


    B [①③正确,②是错误的,对于不同的x值,y的值可以相同,这符合函数的定义,④是错误的,f(x)表示的是函数,而函数并不是都能用具体的式子表示出来.]


    探究二 求函数定义域问题


    求下列函数的定义域:


    (1)y=eq \f(x+12,x+1)-eq \r(1-x);(2)y=eq \f(\r(5-x),|x|-3).


    解 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1≠0,,1-x≥0,))解得x≤1,且x≠-1,


    即函数的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.


    (2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5-x≥0,,|x|-3≠0,))解得x≤5,且x≠±3,


    即函数的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.


    [方法总结]


    求函数定义域的常用依据


    (1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;[来源:学_科_网Z_X_X_K]


    (2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;


    (3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合;


    (4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;


    (5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.


    [跟踪训练2] (1)设全集为R,函数f(x)=eq \r(2-x)的定义域为M,则∁RM为( )


    A.(2,+∞) B.(-∞,2)


    C.(-∞,2] D.[2,+∞)


    A [由2-x≥0,解得x≤2,所以M=(-∞, 2],所以∁RM=(2,+∞).]


    (2)函数f(x)=eq \f(\r(x),x-1)的定义域为________.


    {x|x≥0,且x≠1} [要使eq \f(\r(x),x-1)有意义,需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0,,x-1≠0,))


    解得x≥0,且x≠1,


    故函数f(x)的定义域为{x|x≥0,且x≠1}.]


    探究三 求函数值和函数值域问题


    已知f(x)=eq \f(1,1+x)(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).


    (1)求f(2),g(2)的值;


    (2)求f(g(2))的值;


    (3)求f(x),g(x)的值域.


    解 (1)因为f(x)=eq \f(1,1+x),所以f(2)=eq \f(1,1+2)=eq \f(1,3).


    又因为g(x)=x2+2,所以g(2)=22+2=6.[来源:学&科&网]


    (2)f(g(2))=f(6)=eq \f(1,1+6)=eq \f(1,7).


    (3)f(x)=eq \f(1,1+x)的定义域为{x|x≠-1},


    所以值域是(-∞,0)∪(0,+∞).


    g(x)=x2+2的定义域为R,最小值为2,


    所以值域是[2,+∞).


    [方法总结]


    求函数值域的原则及常用方法


    (1)原则:①先确定相应的定义域;[来源:学#科#网]


    ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域.


    (2)常用方法:


    ①逐个求法:当定义域为有限集时,常用此法;


    ②观察法:如y=x2,可观察出y≥0;


    ③配方法:对于求二次函数值域的问题常用此法;


    ④换元法:对于形如y=ax+b+eq \r(cx+d)的函数,求值域时常用换元法,令t=eq \r(cx+d),将原函数转化为关于t的二次函数;


    ⑤分离常数法:对于形如y=eq \f(cx+d,ax+b)的函数,常用分离常数法求值域;


    ⑥图像法:对于易作图像的函数,可用此法,如y=eq \f(1,x-1).


    [跟踪训练3] 求下列函数的值域:


    (1)y=3x-1,x∈{1,3,5,7};


    (2)y=-x2+2x+1,x∈R;


    (3)y=x+eq \r(1-2x).


    解 (1)(逐个求法)将x=1,3,5,7依次代入解析式,得y=2,8,14,20.所以函数的值域是{2,8,14,20}.


    (2)(配方法)因为y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≤2,所以函数的值域是(-∞,2].


    (3)(换元法或配方法)令eq \r(1-2x)=t,则x=eq \f(1-t2,2),且t≥0,


    所以原函数化为y=eq \f(1-t2,2)+t=-eq \f(1,2)t2+t+eq \f(1,2)=-eq \f(1,2)(t-1)2+1≤1.


    所以所求函数的值域是(-∞,1].











    1.对函数概念的五点说明


    (1)对数集的要求:集合A,B为非空数集.


    (2)任意性和唯一性:集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性.


    (3)对符号“f”的认识:它表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样.


    (4)一个区别:f(x)是一个符号,不表示f与x的乘积,而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值.


    (5)函数三要素:定义域、对应关系和值域是函数的三要素,三者缺一不可.


    2.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,列不等式(组)是求函数定义域的基本方法.


    3.求函数的值域常用的方法有:观察法、配方法、换元法、分离常数法、图像法等.





    课时作业(十六) 函数的概念





    1.设f为“取平方”是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},那么集合A不可能是( )


    A.{1} B.{-1}


    C.{-1,1} D.{-1,0}


    D [若集合A={-1,0},则0∈A,但02=0∉B.]


    2.下列各个图形中,不可能是函数y=f(x)的图像的是( )





    A [垂直x轴的直线与函数y=f(x)的图像至多有一个交点.]


    3.下列各组函数表示同一个函数的是( )


    A.y=eq \f(x2-3,x-3)与y=x+3(x≠3)


    B.y=eq \r(x2)-1与y=x-1


    C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)


    D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z


    C [选项A,B及D中对应关系都不同,故都不是同一个函数.]


    4.设f(x)=eq \f(1,1-x),则f(f(a))=________.


    eq \f(a-1,a)(a≠0,且a≠1) [f(f(a))=eq \f(1,1-\f(1,1-a))=eq \f(1,\f(1-a-1,1-a))=eq \f(a-1,a).]


    5.函数y=eq \f(\r(x+2),\r(6-2x)-1)的定义域为________.


    eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2, \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2),3)) [要使函数解析式有意义,需满足


    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+2≥0,,6-2x≥0,,6-2x≠1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥-2,,x≤3,,x≠\f(5,2)))⇒-2≤x≤3,且x≠eq \f(5,2).


    所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2, \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2),3)).]


    6.已知函数f(x)=x+eq \f(1,x).


    (1)求f(x)的定义域;


    (2)求f(-1),f(2)的值;


    (3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.


    解 (1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,


    所以f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).


    (2)f(-1)=-1+eq \f(1,-1)=-2,f(2)=2+eq \f(1,2)=eq \f(5,2).


    (3)当a≠-1时,a+1≠0,


    所以f(a+1)=a+1+eq \f(1,a+1).


    7.若f(x)=ax2-eq \r(2),且f(f(eq \r(2)))=-eq \r(2),求a的值.


    解 因为f(eq \r(2))=a(eq \r(2))2-eq \r(2)=2a-eq \r(2),所以


    f(f(eq \r(2)))=a(2a-eq \r(2))2-eq \r(2)=-eq \r(2).于是a(2a-eq \r(2))2=0,即2a-eq \r(2)=0或a=0.所以a=eq \f(\r(2),2)或a=0.





    1.某校有一个班级,设变量x是该班同学的姓名,变量y是该班同学的学号,变量z是该班同学的身高,变量ω是该班同学某一门课程的考试成绩,则下列选项中一定正确的是( )


    A.y是x的函数 B.z是y的函数


    C.ω是z的函数 D.x是z的函数


    B [姓名不是数集,故A,D不成立,成绩ω可能与多个身高z对应,不能构成函数. 学号集合到身高集合的对应是数集间的对应,且任一个学号都对应唯一一个身高,因此z是y的函数.]


    2.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )


    A.y=eq \r(x) B.y=eq \f(100,\r(x+2))


    C.y=eq \f(16,x) D.y=x2+x+1


    B [A中,y=eq \r(x)的值域为[0,+∞);C中,y=eq \f(16,x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);D中,y=x2+x+1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)))2+eq \f(3,4)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),+∞));B中,函数的值域为(0,+∞).]


    3.已知集合A={1,2,3},B={4,5},则从A到B的函数f(x)有________个.


    8 [抓住函数的“取元任意性,取值唯一性”,利用列表方法确定函数的个数.


    由表可知,这样的函数有8个.]


    4.给出定义:若m-eq \f(1,2)<x≤m+eq \f(1,2)(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|的四个结论.


    ①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=eq \f(1,2);②f(3.4)=-0.4;③feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)));


    ④y=f(x)的定义域为R,值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2), \f(1,2))).


    则其中正确的序号是____________.


    ①③ [由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)-\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)--1))=eq \f(1,2),①正确;f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,②错误;feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)-\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)))))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)-0))=eq \f(1,4),feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)-0))=eq \f(1,4),所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)))=


    feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))),③正确;y=f(x)的定义域为R,值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0, \f(1,2))),④错误.]


    5.若函数f(x)=eq \f(\r(3,x-1),mx2+x+3)的定义域为R,求m的取值范围.


    解 要使函数f(x)有意义,必须mx2+x+3≠0.


    又因为函数的定义域为R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.


    当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)定义域为R矛盾,所以m=0不合题意.


    当m≠0时,有Δ=12-12m<0,得m>eq \f(1,12).


    综上可知m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,12))))).


    6.(拓广探索)已知函数f(x)=eq \f(x2,1+x2).


    (1)求f(2)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))),f(3)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值;


    (2)求证:f(x)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值;


    (3)求f(2)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))+f(3)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))+…+f(2 017)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))的值.


    (1)解 因为f(x)=eq \f(x2,1+x2),


    所以f(2)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(22,1+22)+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)=1.


    f(3)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))=eq \f(32,1+32)+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)=1.


    (2)证明 f(x)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))=eq \f(x2,1+x2)+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)


    =eq \f(x2,1+x2)+eq \f(1,x2+1)=eq \f(x2+1,x2+1)=1.


    (3)解 由(2)知f(x)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))=1,


    所以f(2)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=1,


    f(3)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))=1,f(4)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))=1,…,f(2 017)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))=1.


    所以f(2)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))+f(3)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))+…+f(2 017)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))=2 016.





    课程标准
    学科素养
    1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
    通过对函数概念的学习,提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
    2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
    f(1)
    4
    4
    4
    4
    5
    5
    5
    5
    f(2)
    4
    4
    5
    5
    4
    4
    5
    5
    f(3)
    4
    5
    4
    5
    4
    5
    4
    5
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          3.1.1 第1课时 函数的概念 同步导学案(人教B版)

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