人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时测试题

课后素养落实(二十三)　奇偶性的概念

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列说法中错误的个数为(　　)

①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；

②图像关于y轴对称的函数是偶函数；

③奇函数的图像一定过坐标原点；

④偶函数的图像一定与y轴相交．

A．4　　　　　B．3　　　　　C．2　　　　　D．1

C　[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y轴相交，所以④说法错误．故选C．]

2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)

A．－ B．－

C． D．

A　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.故选A．]

3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)

A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0

C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)

B　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，

∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.故选B．]

4．(多选题)下列函数为偶函数的是(　　)

A．y＝－|x| B．y＝2－x

C．y＝ D．y＝－x2＋8

AD　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选AD．]

5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A． B．

C． D．1

A　[因为f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

即＝－，

化简得2x2(2a－1)＝0，解得a＝.]

二、填空题

6．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．

0　[∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(a)＋f(－a)＝0.]

7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．

2　[∵f(x)为偶函数，故m－2＝0，∴m＝2.]

8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.

－5　[由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.]

三、解答题

9．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图像如图所示．

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；

(2)比较f(1)与f(3)的大小．

[解]　(1)由于f(x)是奇函数，则其图像关于原点对称，其图像如图所示．

(2)观察图像，知f(3)<f(1)．

10．已知函数f(x)＝1－.

(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值．

(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．

[解]　(1)由已知g(x)＝f(x)－a，

得g(x)＝1－a－.

因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，

即1－a－＝－，解得a＝1．

(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调递增函数，证明如下：设0<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝1－－＝.

由于x1－x2<0，x1x2>0，

从而<0，即f(x1)<f(x2)．

所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调递增函数．

1．(多选题)下列四个选项中不正确的是(　　)

A．偶函数的图像一定与y轴相交

B．奇函数的图像在[a，b]，[－b，－a]上的单调性一定相同

C．偶函数的图像关于y轴对称

D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过(－a，f(a))

AD　[偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图像与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的．

奇函数的图像关于原点对称，若在[a，b]内单调递增(单调递减)，则在[－b，－a]内也为单调递增(单调递减)，故B正确．若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像上，则点(－a，－f(a))也在其图像上，故D是错误的．]

2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)

A．21 B．－21

C．26 D．－26

B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．]

3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－c，则c＝________，f(－2)＝________.

1　－3　[函数f(x)是定义在R上的奇函数，

且x≥0时，f(x)＝2x－c，

所以f(0)＝1－c＝0，所以c＝1，

又当x≥0时，f(x)＝2x－1，

所以f(2)＝3，

又由函数f(x)为奇函数，

则f(－2)＝－f(2)＝－3.]

4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．

[－6，－3)∪(0,3)　[由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．]

已知函数f(x)＝是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．

[解]　因为函数f(x)＝是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

故＝－，

即＝－，

所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.

所以f(x)＝.

而f(1)＝＝＝3，

所以a＋1＝3b.  ①

由f(2)＝5，即＝＝5. ②

解①②组成的方程组，得

故