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人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布学案及答案，文件包含第05讲二项分布教师版-高二数学同步精品讲义人教A版选择性必修第三册doc、第05讲二项分布学生版-高二数学同步精品讲义人教A版选择性必修第三册doc等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点
1．相互独立的概念
(1)相互独立的定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)相互独立事件
事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立
3.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，(k＝0，1，2，…，n)，则称随机变量X服从二项分布，记作
3、若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【微点拨】常用结论】
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
4.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积公式求解．
5.独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
6.(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
【即学即练1】打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】设随机变量，如果，，那么和分别为（ ）
A．18和B．16和C．20和D．15和
【即学即练3】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是伯努利试验的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【即学即练4】设随机变量的分布列为，、、、、，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练5】已知随机变量，则__________（用数字作答）.
【即学即练6】已知X~B（5，），则P（≤X≤）=_________
【即学即练7】已知随机变量，且，则______．
【即学即练8】某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的均值和方差．
【即学即练9】某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X的均值与方差．
【即学即练10】已知，且，求Y的分布列．
能力拓展
考法01
事件独立性的判断
【典例1】．掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
考法02
相互独立事件概率的计算
【典例2】甲、乙两名同学参加2019年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(4,5)，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两人在2019年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(1,3)
【典例3】从次品率为的一批产品中任取件，恰有两件次品的概率为________．
【典例4】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
考法03
独立重复试验及概率
【典例5】(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
【典例6】判断下列试验是不是重伯努利试验.
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，次正面向上；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次，其中次击中；
（3）口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球，恰好抽出个白球．
【典例7】甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是eq \f(2,3)，乙胜的概率是eq \f(1,3)，不会出现平局．
(1)如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；
(2)如果采用五局三胜制(若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜)，求甲获胜的概率．
考法04
二项分布、二项分布的期望、二项分布的方差
【典例8】下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
【典例9】若随机变量X～B，则P(X＝2)等于（ ）
A．2×3B．2×3
C．×2×3D． ×2×3
【典例10】春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物n株.设X为其中成活的株数，若，，则n，p的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例11】设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq \f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于________．
【典例12】．若，则____________.
【典例13】设随机变量，，若，则______.
【典例14】随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且＞，则期望=___________.
考法05
二项分布的实际应用：
【典例15】设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
【典例16】甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25．设随机变量X表示译出密码的人数，求，和．
【典例17】张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．设 为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列．
【典例18】某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0B．1C．2D．3
2. 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率，不大于其恰好发生2次的概率，则随机事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3. 已知随机变量，若，，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4. 若离散型随机变量，则E（X）和V（X）分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5. 已知随机变量服从二项分布，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6.某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（ ）
A．B．C．D．
7. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X=12)等于（ ）
A．B．
C．D．
8. 把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X，则P(X≤2)等于（ ）
A． B．
C． D．以上均不对
9. 现有10张分别标有，，，，，0，1，2，3，4的卡片，它们的大小和颜色完全相同，从中随机抽取1张，记下数后放回，连续抽取3次，则记下的数中有正有负且没有0的概率为（ ）
A．B．C．D．
10. 设随机变量，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11. 掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为，若，则当取最大值时，k为（ ）
A．3B．4C．8D．10
12. 某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
A．14发B．15发C．16发D．15或16发
13. 某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
14. 已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（ ）
A．B．C．D．
15. 经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
16. 已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，
A．增大，增大 B．减小，减小
C．增大，先增大后减小 D．增大，先减小后增大
17. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为
A．2B．C．D．4
题组B 能力提升练
1. （多选题）若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（ ）
A．B．
C．D．
2. （多选题）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ）
A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4
C．P(ξ≥1)＝0.46D．P(ξ＝0)＝0.66
3. （多选题）某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（ ）
A．这5个家庭均有小汽车的概率为
B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为
C．这5个家庭平均有4个家庭拥有小汽车
D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为
4. （多选题）某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时( )
A．服从二项分布B．C．D．
5. （多选题）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A．B．C．X的期望D．X的方差
6. （多选题）已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
7. （多选题）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．
C．X的期望D．X的方差
8. （多选题） 某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
9. 将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ．
10.随机变量，则取最大值时的值为__________
11. 设随机变量，，若，则的值为__________．
12. 某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是______.
13. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．
14. 在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为，则的数学期望为___________.
C 培优拔尖练
1. 已知某种节能灯的使用寿命至少为的概率为0.9，求在20只此种节能灯中，
(1)有18只使用寿命至少为的概率；
(2)至少有15只使用寿命至少为的概率；
(3)至少有2只达不到使用寿命至少为的概率．
2. 某批产品中有20%的不合格品，进行有放回地重复抽样检査，共取5个样品，其中不合格品数为X，试确定X的概率分布.
3. 甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮.
(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；
(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望.
4. 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列和均值；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
5. 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2时的概率；
（2）求ξ的均值．
6. “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时，不分胜负.假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
（1）求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率.
（2）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量，假设每次游戏的结果互不影响，求的分布列和方差.
7. 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得-12分）.
（1）设每盘游戏中出现“6点”的次数为，求的分布列.
（2）玩两盘游戏，求两盘游戏中至少有一盘获得15分的概率.
（3）玩过这款游戏的人发现，经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，后来的分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析这种现象.
8. 影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.
(1)写出这组数据的众数和中位数.
(2)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.
①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；
②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列.课程标准
课标解读
理解相互独立事件的概念，理解独立重
复试验的概念，理解二项分布的概率模型.
理解相互独立事件的概率模型.伯努利
试验的特点.
掌握二项分布的特点，会求二项分布
列，期望与方差.
通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差.
n
0
1
…
k
…
19
…
…
0
1
2
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知识精讲
知识点
1．相互独立的概念
(1)相互独立的定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)相互独立事件
事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立
3.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，(k＝0，1，2，…，n)，则称随机变量X服从二项分布，记作
3、若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【微点拨】常用结论】
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
4.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积公式求解．
5.独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
6.(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
【即学即练1】打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】设随机变量，如果，，那么和分别为（ ）
A．18和B．16和C．20和D．15和
【即学即练3】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是伯努利试验的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【即学即练4】设随机变量的分布列为，、、、、，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练5】已知随机变量，则__________（用数字作答）.
【即学即练6】已知X~B（5，），则P（≤X≤）=_________
【即学即练7】已知随机变量，且，则______．
【即学即练8】某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的均值和方差．
【即学即练9】某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X的均值与方差．
【即学即练10】已知，且，求Y的分布列．
能力拓展
考法01
事件独立性的判断
【典例1】．掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
考法02
相互独立事件概率的计算
【典例2】甲、乙两名同学参加2019年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(4,5)，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两人在2019年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(1,3)
【典例3】从次品率为的一批产品中任取件，恰有两件次品的概率为________．
【典例4】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
考法03
独立重复试验及概率
【典例5】(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
【典例6】判断下列试验是不是重伯努利试验.
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，次正面向上；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次，其中次击中；
（3）口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球，恰好抽出个白球．
【典例7】甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是eq \f(2,3)，乙胜的概率是eq \f(1,3)，不会出现平局．
(1)如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；
(2)如果采用五局三胜制(若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜)，求甲获胜的概率．
考法04
二项分布、二项分布的期望、二项分布的方差
【典例8】下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M
【典例9】若随机变量X～B，则P(X＝2)等于（ ）
A．2×3B．2×3
C．×2×3D． ×2×3
【典例10】春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物n株.设X为其中成活的株数，若，，则n，p的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例11】设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq \f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于________．
【典例12】．若，则____________.
【典例13】设随机变量，，若，则______.
【典例14】随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且＞，则期望=___________.
考法05
二项分布的实际应用：
【典例15】设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
【典例16】甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25．设随机变量X表示译出密码的人数，求，和．
【典例17】张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．设 为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列．
【典例18】某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0B．1C．2D．3
2. 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率，不大于其恰好发生2次的概率，则随机事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3. 已知随机变量，若，，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4. 若离散型随机变量，则E（X）和V（X）分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5. 已知随机变量服从二项分布，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6.某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（ ）
A．B．C．D．
7. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X=12)等于（ ）
A．B．
C．D．
8. 把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X，则P(X≤2)等于（ ）
A． B．
C． D．以上均不对
9. 现有10张分别标有，，，，，0，1，2，3，4的卡片，它们的大小和颜色完全相同，从中随机抽取1张，记下数后放回，连续抽取3次，则记下的数中有正有负且没有0的概率为（ ）
A．B．C．D．
10. 设随机变量，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11. 掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为，若，则当取最大值时，k为（ ）
A．3B．4C．8D．10
12. 某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
A．14发B．15发C．16发D．15或16发
13. 某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
14. 已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（ ）
A．B．C．D．
15. 经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
16. 已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，
A．增大，增大 B．减小，减小
C．增大，先增大后减小 D．增大，先减小后增大
17. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为
A．2B．C．D．4
题组B 能力提升练
1. （多选题）若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（ ）
A．B．
C．D．
2. （多选题）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ）
A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4
C．P(ξ≥1)＝0.46D．P(ξ＝0)＝0.66
3. （多选题）某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（ ）
A．这5个家庭均有小汽车的概率为
B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为
C．这5个家庭平均有4个家庭拥有小汽车
D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为
4. （多选题）某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时( )
A．服从二项分布B．C．D．
5. （多选题）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A．B．C．X的期望D．X的方差
6. （多选题）已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
7. （多选题）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．
C．X的期望D．X的方差
8. （多选题） 某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
9. 将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ．
10.随机变量，则取最大值时的值为__________
11. 设随机变量，，若，则的值为__________．
12. 某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是______.
13. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．
14. 在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为，则的数学期望为___________.
C 培优拔尖练
1. 已知某种节能灯的使用寿命至少为的概率为0.9，求在20只此种节能灯中，
(1)有18只使用寿命至少为的概率；
(2)至少有15只使用寿命至少为的概率；
(3)至少有2只达不到使用寿命至少为的概率．
2. 某批产品中有20%的不合格品，进行有放回地重复抽样检査，共取5个样品，其中不合格品数为X，试确定X的概率分布.
3. 甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮.
(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；
(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望.
4. 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列和均值；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
5. 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2时的概率；
（2）求ξ的均值．
6. “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时，不分胜负.假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
（1）求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率.
（2）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量，假设每次游戏的结果互不影响，求的分布列和方差.
7. 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得-12分）.
（1）设每盘游戏中出现“6点”的次数为，求的分布列.
（2）玩两盘游戏，求两盘游戏中至少有一盘获得15分的概率.
（3）玩过这款游戏的人发现，经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，后来的分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析这种现象.
8. 影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.
(1)写出这组数据的众数和中位数.
(2)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.
①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；
②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列.课程标准
课标解读
理解相互独立事件的概念，理解独立重
复试验的概念，理解二项分布的概率模型.
理解相互独立事件的概率模型.伯努利
试验的特点.
掌握二项分布的特点，会求二项分布
列，期望与方差.
通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差.
n
0
1
…
k
…
19
…
…
0
1
2
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